Elektrische Felder zwischen Metallelektroden

Elektrisches Feld im Plattenkondensator

Mit diesem Programm kann das Potential und das elektrische Feld im leeren Raum zwischen Metallelektroden berechnet werden. In der Elektrostatik tritt häufig der Fall auf, dass bekannt ist, auf welchen Potentialen verschiedene Metallteile liegen. Da die Ladungen auf den Metallteilen frei beweglich sind, ist erstmal nicht bekannt, wo sich die Ladungen befinden. Daher kann das Potential und das elektrische Feld nicht mit dem Coulomb-Gesetz berechnet werden.

Mit der Poisson-Gleichung ist es möglich solche Probleme zu lösen. Hierzu wird im Raum zwischen den Metallteilen die Gleichung div E = 0 oder die Laplace-Gleichung für das Potential gelöst. Kennt man die Lösung für das Potential wird daraus das elektrische Feld durch Bildung des Gradienten berechnet. Kennt man dann das elektrische Feld zwischen den Metallteilen wird aus der Divergenz des elektrischen Feldes die Ladungsdichte auf den Metallelektroden berechnet.

Mit dem Programm können beliebige Anordnungen von Metallteilen auf unterschiedlichen Potentialen gezeichnet werden, um dann Potential, Feld, Energiedichte des Feldes und Ladungsverteilung zu berechnen. Die Rechnung ist zweidimensional und stellt einen Schnitt durch eine dreidimensionale Anordnung dar. Dies bedeutet, eine Linie in der Abbildung repräsentiert einen Schnitt durch eine Metallplatte, eine ausgefüllte Fläche in der Abbildung repräsentiert einen Schnitt durch einen massiven Metallkörper und ein Punkt in der Abbildung entspricht einem Schnitt durch einen Metallstab.

Als Randbedingung kann entweder ein geerdeter metallischer Rand auf dem Potential Null gewählt werden (Dirichletsche Randbedingung) oder es kann die Ableitung des Potentials am Rand gleich Null gesetzt wird (Neumannsche Randbedingung). Dies bewirkt, dass keine Feldlinien den untersuchten Raum verlassen können. Dieser Fall kommt einem offenen Rand relativ nahe. (Vgl. auch "elektrolytischen Trog" im Praktikum).

Besonders geeignet ist das Programm z.B. um die Feldverteilung im Plattenkondensator, beim Faradaykäfig, in der Umgebung von Spitzen, etc. zu beobachten. Für diese Anordnungen erhält man die Ladungsverteilungen und kann gut Effekte durch Influenz beobachten. Beachten Sie, dass das Feld von Punktladungen d.h. E proportional 1/r² nicht beobachtet werden kann, weil alle Objekte in der dritten Dimension ausgedehnt sind (Punkt entspricht einer Stange) und es nicht möglich ist den Bezugspunkt mit Potential Null ins Unendliche zu legen.


Downloads

Laplace2009.exe
(international version german/english)


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Bedienung

Nach dem Starten wird ein leeres Raumgebiet gezeigt, dass in ein Gitter mit 100x100 Gitterzellen aufgeteilt ist. Soll die Auflösung geändert werden, kann nx und ny anders gewählt werden. Die Größe einer Gitterzelle ist beim Start auf einen Millimeter gesetzt und kann nach eigenem Wunsch geändert werden. Zum Zeichnen eines Metallteils wird in das Feld "Potential" der Wert des gewünschten Potentials in Volt eingegeben und anschließend mit der Maus und gedrückter linker Maustaste ein Metallteil gezeichnet. Dies erscheint als silbergraue Punkte im Bild. Sollen weitere Metallteile eingezeichnet werden, wird jeweils zuerst das richtige Potential eingegeben und dann eingezeichnet. Durch Bewegen der Maus und drücken der rechten Maustaste können Punkte gelöscht werde, die dann wieder als Vakuum behandelt werden. Vergessen Sie nicht die gewünschte Randbedingung zu wählen: entweder geerdeter Rand (Potential am Rand fest auf Null Volt) oder wie beim elektrolytischen Trog die Neumannsche Randbedingung (Feldstärke senkrecht zum Rand gleich Null). Beim Zeichnen von maßstäblichen Anordnungen ist es hilfreich das Häkchen unten links in der Ecke zu setzen, um den Ort des Cursors angezeigt zu bekommen. Vollständig umrandete Gebiete können ausgefüllt werden, indem man in das Innern des Gebietes mit der linken Maustaste bei gleichzeitig gedrückter Strg-Taste (Ctrl-Taste) klickt.

Wenn die Anordnung fertig gezeichnet ist, drücken Sie den "Start"-Button. Es werden 24000 Iterationen berechnet, um die Laplace-Gleichung im Vakuum zwischen den Elektroden zu lösen. normalerweise sollte diese Anzahl für eine ausrechende Konvergenz reichen. Falls nicht, können sie durch erneutes Drücken des Start-Buttons weitere 24000 Iterationen rechnen, um eine besonders gute Konvergenz zu erreichen.

Wählen Sie unten links die physikalische Größe, die angezeigt werden soll (Potential, elektrisches Feld. Ladungsdichte oder Energiedichte des Feldes). Beim Potential wird in grün das höchste Potential und in blau das niedrigste Potential angezeigt. Feldstärke: schwarz entspricht Feldstärke Null je gelber um so höher der Betrag von E. Ladungsdichte: rot bedeutet positive Ladungen, blau negative Ladungen, schwarz bedeutet keine Ladungsdichte in diesem Ort. Bei gut konvergierter Rechnung sollte die Ladungsdichte im Vakuum überall Null sein. Energiedichte: violette Farbskala. Die skalaren Größen, bzw. der Betrag der vektoriellen Größen kann jeweils am Cursor abgelesen werden. Alle Größen können auch als 3D-Gitterbild dargestellt werden. Durch bewegen der Maus im Bild mit gedrückter linker Maustaste kann die 3D-Gittergraphik gedreht werden. Auch die Lichtquelle kann gedreht werden (rechte statt linke Maustaste).

In die Farbdarstellung der elektrischen Feldstärke kann man mit der linken Maustaste klicken, um vom Ort der Maus aus eine Feldlinie zeichnen zu lassen. Durch wiederholtes Klicken in das Bild an geeigneten Stellen kann man ein Feldlinienbild für die Anordnung erstellen. Für ein optimales Feldlinienbild sollte die Dichte der Feldlinien (ungefähr) proportional zu der lokalen Feldstärke gewählt werden.

In einer Box des Hauptfensters werden die gesamte im elektrischen Feld gespeicherte Energie W und die gesamte positive Ladung Q+ und gesamte negative Ladung Q- auf den Metallteilen angezeigt.


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Numerische Realisierung

Die Laplace-Gleichung wird iterativ mit einem Differenzenverfahren gelöst, bei dem immer der Mittelwert aus den vier Potentialen der benachbarten Raumpunkte berechnet wird. Allerdings ist das Verfahren dahingehend modifiziert, dass zur schnelleren Konvergenz die Änderungen des Potentials im Vergleich zum vorhergehenden Iterationsschritt um den Faktor 1.5 vergrößert werden. Gradient des Potentials und Divergenz des Feldes werden aus den vier benachbarten Punkten in quadratischer Näherung berechnet.


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