Induktion

Offene Leiterschleife - je blauer eingefärbt umso größer die Kraft, die an diesem Ort auf die Ladungsträger wirkt
Stärke der Magnetfeldkomponente senkrecht zur Leiterschleife als Funktion von der Zeit (rot) und induzierte Spannung zwischen Anfang und Ende der Leiterschleife (blau)

Mit diesem Programm kann die Induktion an einer offenen Leiterschleife studiert werden. Faradays Induktionsgesetzt sagt vorher, dass die induzierte Spannung gleich der negativen Ableitung des magnetischen Flusses nach der Zeit ist. In diesem Gesetz sind zwei Mechanismen enthalten, die zum Auftreten der Induktionsspannung führen. Erstens: Ändert sich die magnetische Feldstärke B (alte Bezeichnung: magnetische Flußdichte), wird ein elektrisches Feld erzeugt, das die Ladungsträger im Leiter in Bewegung setzt und damit zur Induktionsspannung führt. Zweitens: Bewegt sich ein Teil der Leiterschleife mit der Geschwindigkeit v im Magnetfeld, werden die Ladungsträger durch die Lorentzkraft F = v x B in Bewegung versetzt, was auch zu einer Spannung führt. Ändert man Betrag oder Richtung von B ist der erste Effekt wirksam, ändert man die Fläche der Leiterschleife, ist der zweite Effekt relevant. Mit den beiden oben genannten Effekten kann man für beliebige Leitergeometrien, auch solche die keine Fläche einschließen, die induzierte Spannung zwischen den Enden des Leiters berechnen. Dies wird im Programm getan. Als Magnetfeld wird ein homogenes Feld verwendet, dessen Betrag man ändern kann und das man rotieren kann. Die Leiterschleife kann man beliebig geformt zeichnen und die Form während der Rechnung verändern. Das Programm berechnet in Echtzeit die induzierte Spannung durch Änderungen des Feldes und durch Änderungen der Schleifenform. Die Kraft auf die Ladungsträger wird an jeder Stelle der Leiterschleife farblich markiert. Die Magnetfeldkomponente senkrecht zur Leiterschleife und die induzierte Spannung werden als Funktionen von der Zeit laufend dargestellt.


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Bedienung

Klicken Sie mit der linken Maustaste mehrere Punkte in das Bild links, um eine Leiterschleife zu erzeugen. Wenn Sie einen Punkt verschieben wollen, platzieren Sie die Maus auf dem Punkt und verschieben Sie ihn bei gedrückter linker Maustaste. Durch Drücken der rechten Maustaste auf einem Punkt kann dieser gelöscht werden. Die Rechnung braucht nicht mehr extra gestartet zu werden, sie rechnet laufend im Hintergrund die induzierte Spannung aus. Es gibt drei Möglichkeiten Änderungen vorzunehmen, die zur Induktion einer Spannung führen. 1.) Ändern des Betrages vom Magnetfeld. Dies kann mit dem mittleren Schieberegler getan werden. Je schneller Sie den Schieber bewegen, umso größer ist die induzierte Spannung. 2.) Ändern der Richtung vom Magnetfeld. Das Magnetfeld kann durch Drehen der grauen Scheibe mit rotem Pfeil gedreht werden. Klicken Sie dazu auf die Scheibe und drehen Sie die Scheibe mit gedrückter linker Maustaste. Die Drehung erfolgt um die y-Achse, so dass das Feld aus dem Bildschirm heraus zeigt (+z), nach rechts zeigt (+x) in den Bildschirm hinein zeigt (-z) oder nach links zeigt (-x). Die Dritte Möglichkeit eine Spannung zu induzieren ist eine Änderung der Schleifengeometrie. Klicken Sie dazu mit der linken Maustaste auf einen der Roten Punkte und verschieben sie ihn bei gedrückter Maustaste. Je schneller sie ihn verschieben umso größer ist die induzierte Spannung.

Um sich zwei typische Fälle genauer anschauen zu können kann das Magnetfeld automatisch mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotieren oder sein Betrag kann automatisch mit konstanter Rate verändert werden. Beides kann rechts unten ausgewählt werden.


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Darstellung

Die Leiterschleife wird grün bzw. blau eingefärbt, um die lokale Kraft auf die Ladungsträger darzustellen. In Blau wird eine Kraft auf positive Ladungsträger in Richtung der Leiterschleife (Richtung vom ersten zum letzten Punkt) und in Grün eine Kraft entgegen der Richtung der Leiterschleife dargestellt. Die Kraft auf die negativen Elektronen wirkt natürlich umgekehrt (Blau gegen die Richtung und Grün in Richtung des Leiters). Schwarz bedeutet es wirkt keine Kraft. Die Farbskala passt sich langsam den aktuellen Maximal- und Minimalwerten an. Daher muss man manchmal nach starken Änderungen etwas warten, bis man wieder Farben erkennen kann. Rechts oben wird die z-Komponente der magnetischen Feldstärke (Komponente senkrecht zur Bildschirmebene) angezeigt. Sie ist die relevante Komponente für die Induktion in der ebenen Leiterschleife. Im Bild darunter wird die induzierte Spannung Uind angezeigt, die zwischen Anfang und Ende der Leiterschleife anliegt. Die Zeitskala der Darstellung passt sich automatisch der Rechengeschwindigkeit Ihres Computers an, so dass alle Berechnungen und Darstellungen in Echtzeit möglich sind.


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Hinweis

Ändert man die Feldstärke eines homogenen Magnetfeldes ist die Form des induzierten elektrischen Feldes nicht eindeutig festgelegt. Erst durch die Festlegung, wie sich die magnetischen Feldlinien des Magnetfeldes im Außenraum wieder schließen wird das Problem eindeutig lösbar. In diesem Programm wird von einer zylindersymmetrischen Feldgeometrie ausgegangen, deren Zentrum in der Mitte des Bildschirmes liegt. Dies ist durch die konzentrischen Kreise im Hintergrund angedeutet. Das induzierte elektrische Feld, das mit der Formel rot E = - dB/dt berechnet wird hat dann die Form E(r) = (y,-x,0)*dBz/dt. Der Betrag von E nimmt linear mit dem Abstand vom Zentrum zu. Bei geschlossenen Leiterschleifen ist die induzierte Spannung unabhängig von der Lage der Leiterschleife. Bei offenen Leiterschleifen, insbesondere bei geraden Leiterstücken ist die Stärke und sogar das Vorzeichen der induzierten Spannung abhängig vom Ort des Leiters. Dieses Phänomen ist physikalisch richtig und nicht nur ein Artefakt der Rechnung. Wundern Sie sich also nicht, wenn Sie unterschiedliche Ergebnisse bekommen, je nachdem wo sie ein Leiterstück platzieren.


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Numerische Realisierung

Die Induzierte Spannung wird als Integral über die gesamte Leiterschleife berechnet:

Die Änderungen von B und von der Form der Leiterschleife werden live aus Ihren Eingaben erfasst. Daraus wird die Feldstärke E und die Geschwindigkeit der einzelnen Leiterelemente berechnet. Die Form der Leiterschleife wird mit Hilfe eines cubischen Splines zwischen den Stützpunkten interpoliert. Zwischen zwei Stützpunkten werden jeweils 100 Leiterelemente ds zur Berechnung des Integrals verwendet.


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