Para- und Ferromagnetismus

Mit diesem Programm kann das Verhalten von para- und ferromagnetischen Materialien im Rahmen von vier wichtigen Modellen aus der statistischen Physik untersucht werden:

  • Ising Modell
  • xy-Modell
  • Heisenbergmodell
  • Molekularfeldnäherung

Diese Modelle beschreiben Materialien, bei denen lokalisierte magnetische Momente (Spins) untereinander und mit einem äußeren Magnetfeld wechselwirken. Das Programm ist beschränkt auf ein zweidimensionales quadratisches Kristallgitter, wie es z.B. in einer dünnen magnetischen Schicht vorkommen könnte. Innerhalb der verschiedenen Modelle wird angenommen, dass die Ausrichtung der magnetischen Momente (Spins) unterschiedliche Dimensionen annehmen kann. Im Ising Modell ist die Ausrichtung nur eindimensional also senkrecht zur Schicht ist, im xy-Modell ist sie zweidimensional also nur parallel zur Schicht ist und im klassischen Heisenberg Modell ist sie dreidimensional. Auch in der hier verwendeten Molekularfeldnäherung ist die mögliche Ausrichtung der Spins dreidimensional. Die Richtung des magnetischen Momentes (Spins) wird für jeden Gitterplatz farblich dargestellt.

Das Programm berechnet laufend statistische Umverteilungen im Rahmen der Boltzmann-Verteilung für eine vorgegebene Temperatur. Dadurch stellt sich nach einiger Zeit von selbst das thermodynamische Gleichgewicht ein. Es kann ein äußeres Magnetfeld mit wählbarer Richtung und Stärke angelegt werden und die Reaktion der Magnetisierung und magnetischen Domänen darauf beobachtet werden. Für den aktuellen Zustand wird jeweils die gesamte Magnetisierung berechnet und angezeigt. Dadurch kann die Magnetisierung als Funktion von Temperatur und Magnetfeld im Rahmen der verschiedenen Modelle studiert werden.


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Bedienung

Wählen Sie als Erstes das Modell mit dem gerechnet werden soll (linke Spalte) und die Temperatur. Geben Sie für die Kopplungsstärke benachbarter Spins den Wert J in eV ein. Und legen Sie fest, ob die Spin-Spin-Kopplung isotrop (alpha=1.0 und beta=1.0) oder anisotrop sein soll. Die Werte für alpha und beta geben eine Gewichtung für die Kopplungsstärke in der xy-Ebene (alpha) und der z-Richtung (beta) an. Für den Spezialfall alpha=0, beta=1 erhält man wieder das Ising-Model und für alpha=1, beta=0 das xy-Modell. (Details der Modelle und verwendete Einheiten siehe unten.)

Wenn ein äußeres Magnetfeld angelegt werden soll, dann wählen Sie in der rechten Spalte, ob es in der Ebene (Bildschirmebene = xy-Ebene) oder in einer Ebene senkrecht zum Kristalgitters (xz-Ebene) angelegt werden soll. Mithilfe des Pfeils auf der bunten Scheibe kann die Richtung des Feldes eingestellt werden (mit gedrückter linker Maustaste an der Scheibe drehen). Geben Sie dann den Betrag des Magnetfeldes (Magnetfeldstärke) als Zahlenwert ein. Als Einheit wird die Energie verwendet, die ein magnitisches Moment (Spin) bei paralleler Ausrichtung im Magnetfeld besitzt E = g µB B.

Drücken Sie nun den Button "Neustart". Das Programm zeigt für jeden Gitterplatz die aktuelle Richtung der magnetischen Momente an. Die Farbskala ist dabei folgendermaßen gewählt: Liegt die Richtung des magnetischen Moments in der Ebene des Gitters, dann ändert sich die Farbe beginnend mit der y-Richtung von rot über grün und blau wieder nach rot, so wie es auch auf der farbigen Scheibe dargestellt ist. Zeigt die Magnetisierung aus der Ebene heraus, wird die z-Komponente als zunehmende Helligkeit der Farbe (positive z-Richtung) bzw. abnehmende Helligkeit (negative z-Richtung) dargestellt. Magnetisierungen genau senkrecht zur Ebene sind schwarz (-z) bzw. weiß (+z).

Während der Rechnung können alle Parameter geändert werden, so dass direkt beobachtet werden kann, wie das System reagiert (z.B. auf Änderung der Temperatur, Drehen des Magnetfeldes, etc). Das Programm kann auch angehalten werden und später mit "Continue" fortgesetzt werden. Wird das Modell während der Rechnung gewechselt, wird automatisch ein Neustart ausgelöst. Änderungen an der Größe des Gitters werden erst beim nächsten Neustart berücksichtigt.


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Modelle

Die Richtung der magnetischen Momente werden über einen Einheitsvektor S beschrieben. Aufgrund der Austausch-Wechselwirkung hängt die Energie des Gesamtsystems davon ab, welchen Winkel benachbarte Spins zueinander haben. Die Gesamtenergie wird durch den Hamiltonoperator H ausgedrückt. Die Kopplungsenergie J benachbarter Spins bestimmt die wesentlichen Eigenschaften des Systems. Diese Betrachtung im Rahmen des Heisenberg Modells wird in drei Fälle untergliedert, die unterschiedliche Freiheiten für die Spinrichtungen zulassen. Als viertes Modell wird die Molekularfeld-Näherung verwendet, bei der nicht benachbarte Spins aneinander koppeln sondern jeder Spin an das mittlere Feld aller anderen Spins. (Für eine detailierte Beschreibung der Modelle siehe z.B. Czycholl: Theoretische Festkörperphysik)


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1. Ising Modell

Die magnetischen Momente (Spins) können nur in z-Richtung zeigen und daher kann S nur die Werte +1 und –1 annehmen. Der Hamilton-Operator lautet:

In der Summe werden nur benachbarte Gitterplätze berücksichtigt. g ist das gyromagnetische Verhältnis, µB das Bohrsche Magneton und B das äußere Magnetfeld. Das Ising-Modell in einem 2-dimensionalem Gitter zeigt einen Phasenübergang bei der kritischen Temperatur TC.


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2. XY-Modell

Die magnetischen Momente (Spins) liegen in der xy-Ebene. Der Hamilton-Operator lautet:

S sind dabei 2-dimensionale Vektoren in der xy-Ebene. Dieses Modell, dass sowohl bezüglich des Gitters als auch bezüglich der Spins 2-dimensional ist, ist auch ein weit verbreitetes Modell in der statistischen Physik. Dies liegt aber besonders daran, dass es eine spezielle Form von Phasenübergang zeigt (Kosterlitz-Thouless-Übergang).


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3. Klassisches Heisenbergmodell

Im dreidimensionalen klassischen Heisenbergmodell können die magnetischen Momente (Spins) in beliebige Richtung des 3-dimensionalen Raums zeigen. Es gibt aufgrund der klassischen Behandlung keine Quantisierung bezüglich der Spinrichtung. Der Hamilton-Operator lautet:

wobei S nun 3-dimensionale Vektoren sind. Im klassischen Heisenbergmodell wird oftmals eine Anisotropie eingeführt, bei der die Spins in z-Richtung mit anderer Stärke koppeln als in der xy-Ebene. Diese Anisotropie führt z.B. zur Ausbildung von ausgeprägten Domänen, wie man sie auch im Ising-Modell findet. Der Hamilton-Operator lautet:

Im isotropen Fall ist alpha = beta = 1. Für den Grenzfall alpha = 0, beta = 1 ergibt sich das Ising-Model und für alpha = 1, beta = 0 das xy-Modell.


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4. Molekularfeldnäherung

Die Molekularfeldnäherung zeigt eine spontane Magnetisierung unterhalb der Curie-Temperatur. Es ist aber keine spontane Ausbildung von Domänen zu beobachten.


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Monte-Carlo-Verfahren

Zur statisitischen Umverteilung der Spins wird laufend ein zufälliger Gitterplatzs ausgewählt und eine zufällige Drehung des Spins untersucht. Ist die Energie des Gesamtsystems (vgl. Hamilton-Operator) nach der betrachteten Drehung (En) kleiner als vorher (Ev), wird die Drehung auf jeden Fall ausgeführt. Ist die Energie En größer als vorher, wird der Boltzmann-Faktor exp((En-Ev)/kBT) berechnet und nur umverteilt, wenn eine hierfür erzeugte Zufallzahl kleiner als der Boltzmannfaktor ist.


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