Stromdichte in flächigen elektrischen Leitern

Stromdichte (oben)
Feldstärke mit Feldlinien
Leistungsdichte
3D Darstellung des Potentials (unten) für eine Anordnung aus parallelgeschalteteten Widerständen (Der obere Widerstand ist doppelt so groß wie der untere)

Mit diesem Programm kann studiert werden, wie Ströme durch metallische Leiter fließen. Es können beliebige zweidimensionale Anordnungen von elektrischen Leitern gezeichnet werden und an bestimmten Stellen auf ein festes Potential gelegt werden. Hierbei kann man sich z.B: Leiterbahnen auf einer Platine vorstellen. Es können dabei flächige Leiter aus unterschiedlichen Materialien d.h. mit unterschiedlicher elektrischer Leitfähigkeit und mit unterschiedlicher Dicke verwendet werden. Die Anordnungen können recht komplex, bis hin zu elektrischen Schaltungen mit mehreren Widerständen sein. Das Programm berechnet an jedem Ort im Metall das Potential, die elektrische Feldstärke, die Stromdichte und die erzeugte Leistungsdichte (Wärmeleistung). Im Bild der elektrischen Feldstärke lassen sich Feldlinien anzeigen, und im Bild der Stromdichte Stromlinien, d.h. Linien entlang derer der Strom fließt. Mit dem Programm lassen sich sehr schön inhomogene Stromdichteverteilungen anzeigen und es können elektrische Widerstände für unregelmäßig geformte Objekte berechnet werden. Durch Ablesen der Potentialdifferenzen (Spannung) zwischen zwei Orten und Ablesen des Gesamtstroms zwischen diesen Orten kann der Widerstand ermittelt werden. Auch lassen sich die Kirchhoffsche Knotenregel und der Spannungsabfall am Draht gut demonstrieren.


Downloads

Current2009.exe
(international version german/english)


To top

Bedienung

Starten Sie das Programm und geben Sie oben links die Anzahl der Gitterzellen nx und ny für die beiden Raumrichtungen ein. Bei "Größe einer Zelle" geben Sie die Größe einer Gitterzelle in Metern ein. Legen Sie dann das Potential fest, auf das die Punkte die Sie zeichnen gelegt werden sollen. Mit der Auswahl "festes Potential" oder "Variables Potential" wird festgelegt, ob das eingegebene Potential für die gezeichneten Punkte festgehalten wird (Batterie-Pol, Elektrischer Anschluss, etc.) oder ob es sich um einen inneren Punkt des Leiters handelt, an dem das Potential vom Programm berechnet werden soll. Punkte mit festgehaltenen Potential werden durch einen weißen Rand gekennzeichnet. In der Auswahlbox können Sie das Material mit vorgegebener Dicke auswählen. Sie können selbst neue Materialien in die Liste einfügen mit der Taste "Material zu Liste hinzufügen". Dabei geht ein Extrafenster auf indem Sie den Namen, die Leitfähigkeit des Materials und die Dicke in Millimetern eingeben müssen. Die Leitfähigkeit ist der Kehrwert des spezifischen Widerstandes, Siemens ist der Kehrwert von Ohm. Wenn Sie dann "Material hinzufügen" drücken, wird noch nach der Farbe gefragt mit der es dargestellt werden soll. Die Punkte mit den vorher ausgewählten Parametern werden durch Bewegen der Maus mit gedrückter linker Maustaste gezeichnet. Zum Löschen von Punkten verwenden Sie die rechte Maustaste. Vollständig umrandete Gebiete können durch Drücken der Strg-Taste (Ctrl-Taste) und gleichzeitiges Klicken in das Gebiet mit der linken Maustaste ausgefüllt werden. Das Zeichnen von Punkten geht nur in den Farbdarstellungen von Potential, Leistungsdichte und Material. Beachten Sie, dass ein Stromfluss zwischen zwei Gitterelementen, die sich nur an der Ecke berühren nicht möglich ist. Durch Setzen des Hakens unten links wird der Ort (x,y) beim Cursor angezeigt. Ist die Anordnung fertig gezeichnet, drücken Sie den Button "Start". Bei sehr dünnen Leitern, die große Gebiete von Leitern verbinden kann es u.U. nötig sein die Starttaste mehrmals zu drücken, da die Konvergenz in solchen Fällen langsam ist.

Mit den vier Buttons unten links wird ausgewählt, welche Größe angezeigt werden soll (elektrischen Feldstärke, Stromdichte, Leistungsdichte oder die Materialien). In jedem Bild können die zugehörigen Werte an der Mausposition abgelesen werden. Wird das Häkchen bei "Darstellung als 3D-Gittergraphik" gesetzt, werden die jeweiligen physikalischen Größen als mehrdimensionale Gittergraphik angezeigt. In dieser Darstellung kann das Bild gedreht werden, indem man die Maus bei gedrückter linker Maustaste im Bild bewegt. Durch bewegen der Maus mit gedrückter rechter Maustaste kann die Lichtquelle bewegt werden, um eine optimale Beleuchtung der Darstellung zu erhalten.

In der Farbdarstellung der elektrischen Feldstärke kann durch Drücken der linken Maustaste auf dem Leiter eine Feldlinie in das Bild eingezeichnet werden. Durch wiederholtes Anklicken kann ein Feldlinienbild erstellt werden. Das gleiche ist im Farbbild der Stromdichte möglich, wobei Stromlienen dargestellt werde, also Linien die der Richtung der Stromdichte folgen. Da beim Stromfluss die Elektronen durch das Metall driften ohne nennenswert kinetische Energie aufzunehmen, verlaufen die Stromlinien genauso wie die Feldlinien.


To top

Numerische Realisierung

In elektrischen Leitern, die aus verschiedenen Materialien zusammengesetzt sind, kann das Potential nicht einfach durch Lösen der Laplace-Gleichung berechnet werden. Stattdessen wird hier von der Gleichung div j = 0 ausgegangen (Kontinuitätsgleichung für die Stromdichte). Es folgt, dass der Laplace-Operator angewendet auf Leitfähigkeit*Potential gleich Null ist. Diese Gleichung wird iterativ gelöst, wobei an Orten mit festem Potential das Potential festgehalten wird (Dirichletsche Randbedingungen) und an Rändern, die an einen Isolator grenzen, Neumannsche Randbedingungen verwendet werden. Besondere Sorgfalt wird bei der numerischen Behandlung von Grenzflächen unterschiedlicher Materialien angewendet. Die Feldstärke wird aus der Stromdichte berechnet (Feldstärke=Stromdichte/Leitfähigkeit). Man beachte, dass an Grenzflächen unterschiedlicher Materialien Flächenladungsdichten vorhanden sind. Zur Berechnung der Feldlinien wird ausgehend vom Cursor der Richtung des elektrischen Feldes gefolgt, bis ein Punkt mit festem Potential erreicht wird. Gleiches gilt für die Stromlinien bei denen der Richtung der Stromdichte gefolgt wird.


To top