Feigenbaumdiagrmm

Bei Systemen, die periodisches und chaotisches Verhalten zeigen können, ist es von Interesse zu wissen, wie sich ein Übergang ins Chaos ankündigt (z.B. periodischer Herzschlag - chaotisches Herzkammerflimmern). Vor dem Übergang ins Chaos ist oft eine Periodenverdopplung (Bifurkation) zu beobachten. Diese Phänomen wird bei dem s.g. Feigenbaumdiagramm besonders gut sichtbar.

Die Entwicklung der Population von Heuschrecken kann man näherungsweise durch die logistische Gleichung beschreiben. Dabei geht man davon aus, dass die Zahl der Nachkommen proportional zur Zahl der vorhandenen Heuschrecken ist. Bei fixem Futterangebot stirbt allerdings ein Anteil der Heuschrecken wegen Futtermangels vor der Eiablage. Der Futtermangel ist wiederum proportional zur aktuellen Population. Die daraus resultierende Gleichung lässt sich schreiben als x(n+1) = A x(n) * ( 1 - x(n) ) mit nur einem Parameter A. Die Zahl x(n) repräsentiert die relative Größe der Population im Jahr n. Das Feigenbaumdiagramm beschreibt die Entwicklung der Population in Abhängigkeit von dem Parameter A. Für kleine A stellt sich nach einigen Jahren eine Gleichgewichtspopulation ein (eine Linie im Diagramm). Für größere A tritt Periodenverdoppelung auf und die Population schwankt zwischen zwei Werten oder auch 4, 8, 16, usw. verscheidenen Populationsgrößen (Verzweigungen der Linien). Für noch größere Werte tritt chaotisches Verhalten auf (rechts im Bild).


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Bedienung

Bedienung: Der anfänglich dargestellte Ausschnitt zeigt den Bereich A=2.8 bis A=4.0 (horizontal) und x=0 bis x=1 (vertikal). Mit der Maus kann ein Ausschnitt gewählt werden. Im Menu kann eingestellt werden, wieviele Iterationen berechnet werden sollen. Die ersten 200 Iterationen werden nicht gezeichnet, da die Folge am Anfang von den Anfangsbedingungen abhängt. Sie können im Menu die Farben für Hintergrund und Punkte einstellen und das Bild speichern oder drucken.


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