Magnetpendel über drei Magneten

Das Programm beschreibt das Verhalten eines Magneten, der an einem Faden pendelt und über drei Magnete aufgehängt ist, die in der Form eines gleichseitigen Dreiecks angeordnet sind. Der pendelnde Magnet wird von allen drei anderen Magneten angezogen und entscheidet sich nach Durchlaufen einer komplizierten Bahn für einen der drei Magneten über dem er zur Ruhe kommt. Durch Reibungsverlußte handelt es sich um ein dissipatives System, das drei Attraktoren besitzt. Die Attraktoren sind in diesem Fall einfach nur Punkte über den Magneten. Interessanter ist in diesem Fall das Einzugsgebiet der Attraktoren. Das Programm stellt die drei Einzugsgebiete der Magnete (Attraktoren) in unterschiedlichen Farben dar. Die Grenzlinie zwischen diesen Einzugsgebieten hat eine fraktale Dimension, während die Einzugsgebiete selbst zweidimensional sind.


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Bedienung

Durch Drücken des Start-Buttons beginnen Sie eine Rechnung, bei der Punkt für Punkt das Pendel am Ort des Bildpunktes gestartet wird und seine Trajektorie bis zum Erreichen eines Attraktors berechnet wird. Anschließend wird der Bildpunkt in der entsprechenden Farbe eingefärbt. Die Bewegung einer einzelnen Pendelschwingung lässt sich verfolgen, wenn man das Häkchen bei "Trajektorie zeigen" setzt. Wird das Häkchen wieder entfernt, rechnet das Bild weiter. Der Dämpfungparameter kann zwischen 0.05 und 0.1 eingestellt werden. Dadurch lässt sich beeinflussen wie lange der Magnet pendelt ehe er zur Ruhe kommt und somit wie feingliedrig das Einzugsgebiet der Attraktoren ist. Als Kraftgesetz kann entweder eine Kraft proportional zu 1/r2 (Coulombgesetz für elektrische Ladungen) oder proportional zu 1/r3 für die Kraft zwischen magnetischen Dipolen gewählt werden. Mit Zoom lässt sich der Bildausschnitt verkleinern und vergrößern. Durch anklicken eines Bildpunktes wird dieser Punkt zum neuen Zentrum des Bildausschnitts. Durch anschließendes reinzoomen lassen sich keine Ausschnitte berechnen. Mit Reset werden die Standard-Einstellungen gewählt. Die Farben lassen sich individuell wählen und die Bilder abspeichern. Ggf. auftretende schwarze Bildpunkte bedeuten, dass vor Erreichen der maximalein Zahl von Zeitschritten, noch nicht entschieden ist, welcher Magnet (Attraktor) erreicht wird.


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Numerische Realisierung

Die Bewegungsparameter sind alle normiert auf den Abstand der Magnete, der eins gesetzt ist. die Bewegung des Pendels geschieht in einer Höhe von 0.3. Die Kräfte werden ohne weitere Parameter als 1/r2 bzw. 1/r3 berechnet, die Masse ist gleich eins. Die Differentialgleichung aus dem Newtonschen Aktionsprinzip wird mit Runge Kutta 4. Ordnung und einer Schrittweite von 0.01 berechnet. Pro Bildpunkt werden je nach Dämpfung 1000 bis 5000 Zeitschritte gerechnet.


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