Mathematisches Pendel

Mit diesem Programm kann die Bewegung eines mathematischen Pendels berechnet werden. Das Pendel besteht aus einer Punktmasse am Ende einer masselosen Stange. Das Programm löst die nichtlineare Differentialgleichung für dieses Pendel und erlaubt daher das Studium verschiedener Effekte die durch die Nichtlinearität verursacht werden. Zum Vergleich kann mit der linearisierten Differentialgleichung gerechnet werden. Das Pendel kann auch durch eine periodische Anregung getrieben werden. Bei geeigneten Parametern ergibt sich dabei chaotisches Verhalten. Hierfür sind die Darstellungen im Phasenraum und als Poincaré-Schnitt hilfreich.


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Bedienung

Oben Links im Bedienfeld werden die Anfangsbedingungen für die Bewegung eingegeben. Der Winkel in Grad und die Winkelgeschwindigkeit in rad/s. Die Parameter des Pendels Länge l in Metern und Dämpfungskonstante gamma in 1/s werden darunter eingegeben. Die Erdbeschleunigung beträgt immer 9.81m/s2. Durch Drücken des Start-Buttons wird die Bewegung des Pendels in Echtzeit gestartet. Gleichzeitig wird die Auslenkung als Funktion von der Zeit dargestellt (aufgetragen ist die Zeit nach rechts und der Winkel nach oben). Durch Setzen des Häkchens bei "linearisieren" wird auf Lösung der linearisierten Differentialgleichung umgeschaltet. So lassen sich leicht Vergleiche anstellen. Wird ein Häckchen bei "Periodische Kraft" gesetzt, dann wird das Pendel durch eine cosinusförmige Kraft getrieben. Die Kreisfrequenz omega und die Amplitude können unten links eingegeben werden. Die Pendelschwingung wird mit dem Button "Stop" angehalten. Mit "Clear" werden alle Darstellungen (Funktion phi(t), Phasenraum omega(phi) und Poincaré-Schnitt gelöscht. Ansonsten können mehrere Kurven zum Vergleich übereinander gezeichnet werden.


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Darstellungsmöglichkeiten

Der Phasenraum ist eine Darstellung bei der die Auslenkung (Winkel) nach oben und die Winkelgeschwindigkeit nach rechts aufgetragen ist. Eigentlich ist der Phasenraum für das getriebene Pendel 3-dimensional und enthält die Zeit als dritte Dimension. In diesem Sinne ist die Darstellung eine Projektion auf die zwei o.g. Dimensionen. Der Poincaré-Schnitt umgeht dieses Problem der Darstellung, indem nur Punkte nach ganzzahligen Perioden der Anregung in die Ebene aus Winkel (nach oben) und Winkelgeschwindigkeit (nach rechts) gezeichnet werden.


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Beispiel für Chaos

Mit geeigneten Parametern z.B. l = 10, Dämpfung = 0.1, omega = 1 und Amplitude der Anregung = 3 (nichtlinear mit periodischer Anregung) kann eine chaotische Bewegung gestartet werden. Dieses Pendel mit Dissipation strebt nach kurzer Zeit mit seiner Bewegung gegen einen seltsamen Attraktor, der im Poincaré-Schnitt sichtbar wird (Menge aller roten Punkte). Dieser Attraktor im Poncaré-Schnitt, der einer Dimension zwischen 1 und 2 hat, ist weder eine Linie noch eine Fläche. Variiert man die Parameter leicht, verändert sich die Form des Attraktors. Ist die Bewegung des Pendels periodisch und nicht chaotisch, dann erhält man nur einen Punkt im Poincaré-Schnitt.


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