Schiefer-Wurf

Grafische Darstellung eines schiefen Wurfs

Mit diesem Programm kann die Bahnkurve einer geworfenen Kugel berechnet werden. Das Besondere an dem Programm ist, dass man viele physikalische Effekte einbeziehen kann, die auf Längenskalen von Nanometern bis Gigametern auftreten. Dazu gehören:

  • Luftwiderstand
  • ortsabhängige Erdbeschleunigung
  • Corioliskraft
  • Brownsche Molekularbewegung
  • Auftrieb

Durch Berücksichtigung all dieser Effekte ist es möglich zu studieren, in welchen Parameterbereichen eine einfache Berechnung des schiefen Wurfes richtig ist, in welchen Bereichen sie eine gute Näherung ist und in welchen Bereichen sie völlig unrealistisch ist. Das Programm kann in der Ausbildung eingesetzt werden, um an einem anschaulichen Beispiel deutlich zu machen, dass physikalische Modelle meistens für bestimmte Parameterbereiche gedacht sind und nur die in diesen Bereichen relevanten Effekte berücksichtigen. In anderen Bereichen werden andere Effekte relevant oder sogar dominant, so dass dort andere Modelle zum Einsatz kommen. Da in diesem Programm eine Vielzahl von Effekten gleichermaßen berücksichtigt werden, können die Bewegungen von Satelliten (z.B. der Raumstation ISS) bis hinunter zu Bahnkurven von feinsten Staubteilchen realistisch berechnet werden.


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Bedienung

Die Anfangsbedingungen, d.h. Startort (x,y) und Startgeschwindigkeit (Betrag und Winkel von v) werden oben links eingegeben. In dem Feld darunter wird die Größe der Kugel (Radius in Metern) und ihre Dichte (in kg/m3) eingegeben. Durch Setzen von Häkchen werden die physikalischen Effekte ausgewählt, die in der Rechnung berücksichtigt werden sollen. Mit dem Button "Bahnkurve Berechnen" wird die Rechnung gestartet. Nach einigen Sekunden wird die Bahnkurve angezeigt. Wenn der dargestellte Ausschnitt nicht geeignet ist, kann im Bild mit der Taste "Auto" der Bildausschnitt automatisch gewählt werden, oder es kann mit dem Schieberegler der Bildausschnitt über viele Größenordnungen variiert werden. Der Bildausschnitt kann durch Drücken und Halten der linken Maustaste verschoben werden. In einem extra Fenster können verschiedene Funktionen dargestellt werden, die es erlauben, den Bewegungsvorgang näher zu studieren. Die physikalsichen Größen, die als Funktion dargestellt werden sollen, müssen für die Abzisse (x-Achse) und die Ordinate (y-Achse) jeweils ausgewählt werden. Das Fenster wird durch Setzen eines Häkchens ganz unten links geöffnet. Die Bahnkurve ist als rote Linie dargestellt, die Erdoberfläche als schwarze Linie. Die Koordinaten eines Punktes können neben dem Mauszeiger abgelesen werden. Dadurch kann z.B. leicht die Wurfweite ermittlet werden. Die Bahnkurve der aktuellen Kurve kann durch Drücken des Buttons "Kurve merken" gespeichert werden. Ist das Häckchen "2. Kurve zeigen" gesetzt, wird diese Kurve zusätzlich zu den später mit anderen Parametern berechneten Kurven als Vergleichskurve in grau angezeigt.


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Numerische Realisierung

Die Bahnkurve wird mit dem Runge-Kutta Verfahren 4. Ordnung berechnet. Die Schrittweite in der Zeit wird je nach Geschwindigkeit eingestellt (10-12s bis 10-2s). Das Koordinatensystem ist so gewählt, dass der Koordinatenursprung (x,y)=(0,0) auf der Erdoberfläche liegt. Die Berechnung der Bahnkurve wird gestoppt, wenn die Erdoberfläche erreicht ist, oder die Zahl von 10.000.000 Zeitschritten überschritten wurde. Eine konstante Erdbeschleunigung ist fest auf 9.81 m/s2 eingestellt und zeigt in negative y-Richtung. Ist sie ortsabhängig wird sie mit dem Gravitationsgesetz als vektorielle Größe berechnet, die auf den Erdmittelpunkt zeigt. Es wird angenommen, dass der Luftwiderstand proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit, proportional zur Dichte der Luft und proportional zur Querschnittsfläche der Kugel ist. Der cw-Wert der Kugel ist cw=1. Die Dichte der Luft wird für den Luftwiderstand mit der Barometrischen Höhenformel berechnet und ist höhenabhängig. Für die Brownsche Molekularbewegung wird eine normalverteilte Verschiebung der Teilchen mit Hilfe von Zufallszahlen berechnet, die von der Größe der Teilchen, der Viskosität der Luft und der Temperatur abhängt. Das Modell hierfür stammt von Einstein (vgl. Annalen der Physik. 17, 1905, S. 549–560). Bei der Brownschen Molekularbewegung werden die Eigenschaften von Luft an der Erdoberfläche angenommen (20 °C, 1013 mbar). Für die Geschwindigkeitsverteilung des Teilchens wird eine Maxwell-Boltzmann-Verteilung bei 293 K entsprechend der Masse des Teilchens angenommen. Zur Abschätzung der Beschleunigungen wird angenommen, dass die Stöße der Luft-Moleküle mit dem Teilchen Beschleunigungsstrecken von einer typischen chemischen Bindungslänge (Annahme 0.2 nm) aufweisen. Auch der Auftrieb in der Luft kann berücksichtigt werden. An der Erdoberfläche ist die Dichte der Luft 1.2 kg/m3. Zur Berechnung der Coriolsikraft wird angenommen, dass die Erdachse senkrecht zur Bildebene steht und die Erde sich gegen den Uhrzeigersinn dreht. Dies entspricht einer Blickrichtung von Norden nach Süden und einem Koordinatenursprung auf dem Äquator. Nicht berücksichtigt wurden: relativistische Effekte, Änderung der Reibungseigenschaften bei sehr kleinen Drücken, Gezeitenkräfte, Wind, etc.


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