Boltzmann-Verteilung

In diesem Programm wird eine Monte-Carlo Simulation eingesetzt, um zu demonstrieren, wie sich eine Boltzmann-Verteilung als wahrscheinlichste Verteilung eines thermodynamischen Systems einstellt. Als Modellsystem werden wechselwirkende Teilchen verwendet, die äquidistante Energieniveaus besetzen, wie man sie in einem quantenmechanischen harmonischen Oszillator findet. Im Programm ist die Boltzmann-Verteilung selbst nicht einprogrammiert. Sie ergibt sich ganz von alleine als die wahrscheinlichste Verteilung der Teilchen auf die Energieniveaus. Dazu werden die Teilchen ständig statistisch umverteilt, wobei die Gesamtenergie immer erhalten bleibt. Dies geschieht, indem jeweils ein zufällig ausgewähltes Teilchen ein Energiequant aufnimmt während ein anderes zufällig ausgewähltes Teilchen das Quant abgibt. Abstand der Energieniveaus, Anzahl der Teilchen und Temperatur können eingestellt werden. Als Anfangsbedingung wird eine Gleichverteilung oder die Besetzung eines einzelnen Niveaus verwendet. Angezeigt wird die Besetzungszahl der Energieniveaus, d.h. die Anzahl der Teilchen die sich jeweils in den Niveaus befinden, oder anders ausgedrückt die Anzahl der Teilchen die genau diese Energie besitzen. Hat sich die Boltzmann-Verteilung eingestellt, dann ändert sich die Verteilung nicht mehr wesentlich, obwohl die einzelnen Teilchen ständig Energiequanten untereinander austauschen. Es ist möglich das Verhalten des Systems bei sehr unterschiedlichen Bedingungen zu studieren z.B. hohe/niedrige Temperatur, große/kleine Teilchenzahl, kleine/große Abstände der Energieniveaus.



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Bedienung

Oben links werden die Parameter des Systems ausgewählt (Gesamtzahl der Teilchen, Abstand der Energieniveaus in milli-Elektronenvolt (meV) und Temperatur in Kelvin. Als Anfangsverteilung können Sie zwischen der Besetzung eines einzelnen Niveaus E = kB*T oder einer ungefähren Gleichverteilung bis zur Energie 2*KB*T wählen. Nach Drücken des „Start“-Buttons werden Teilchen nach dem oben beschriebenen Schema umverteilt. Die ausgetauschten Energiequanten entsprechen der Energie zwischen zwei Energieniveaus (dE). Wird ein Häkchen bei „große Schritte zulassen“ gesetzt, werden auch größere Energiequanten (ganzzahlige Vielfache von dE) ausgetauscht. Mit dem Schieberegler wird die Häufigkeit des Energieaustauschs (der Umbesetzung) eingestellt. Sie kann zwischen einzelnen Umbesetzungen pro Sekunde (langsam) bis hin zu 20 Millionen Umbesetzungen pro Sekunde (schnell) variiert werden. Links unten wird die Obergrenze für die Energieskala eingegeben und ausgewählt, ob die Darstellung mit vertikaler oder horizontaler Energieskala erfolgen soll. Nach dem Starten wird die tatsächliche Temperatur der Verteilung angezeigt, da die gewünschte Temperatur nicht immer ganz genau durch die Anfangsbesetzung realisiert werden kann. Über das Menu ist es möglich die Graphik zu speichern und zu drucken, sowie Schriftgröße und Zeichensatz auszuwählen. Positioniert man den Cursor direkt auf einem Energieniveau, wird die aktuelle Bestzungszahl diesed Niveaus angezeigt, d.h. die Anzahl der Teilchen, die aktuell diese konkrete Energie haben.


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Numerische Realisierung

Bei Programmstart wird die passende Gesamtenergie des Systems zu der gewünschten Temperatur mithilfe der Planck-Verteilung berechnet. Dann werden die Teilchen wie gewünscht auf die Energieniveaus verteilt, so dass die Gesamtenergie möglichst genau getroffen wird. Die Umverteilung erfolgt mit Hilfe von Zufallszahlen (genauer Pseudo-Zufallszahlen). Für jedes einzelne Teilchen ist dem Programm bekannt, in welchem Energieniveau es sich befindet. Bei jeder Umverteilung werden zwei Teilchen zufällig ausgewählt, die dann ein Energiequant austauschen, d.h., dass ein Teilchen auf der Energieskala aufsteigt, während das andere um die gleiche Energie absteigt. Durch Auszählen wird für jedes Bild die Besetzung der Energieniveaus ermittelt.


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