Kinetische Gastheorie

Gasgemisch aus Neon (blau) und Argon (rot) im thermodynamischen Gleichgewicht mit zugehörigen Geschwindigkeitsverteilungen der beiden Ensembles

Mit diesem Programm wird die Bewegung von Atomen und Molekülen in einem Gas durch Lösung der Newtonschen Bewegungsgleichungen berechnet. Es besteht die Möglichkeit verschieden Ensembles von Atomen und Molekülen unterschiedlicher Masse zu mischen und ins thermodynamische Gleichgewicht miteinander zu bringen. Für jedes dieser Ensembles können dann thermodynamische Größen und Geschwindigkeitsverteilungen angezeigt werden. Durch eine realistische Modellierung der Teilchen-Wechselwirkung mit einem Lennard-Jones Potential sind beim Abkühlen des Gases Phasenübergänge in die flüssige und feste Phase zu beobachten. Bei den im Programm verwendeten typischen Teilchenzahlen (in der Regel unter 100) ergeben sich dabei kleine Tröpfchen bzw. feste Cluster. Durch die Möglichkeit zweiatomige Moleküle zu verwenden, kann auch die Verteilung der Energie auf die verschiedenen Freiheitsgrade (Translation, Rotation und Schwingung) studiert werden. Zu beachten ist hierbei, dass wegen der klassischen Rechnung (ohne Quantisierung) alle Freiheitsgrade auch bei niedrigen Temperaturen beitragen. Die Darstellung entspricht einer Zeitlupe von 10-12 also der Darstellung von einer Pikosekunde pro Sekunde. Der dreidimensionale Raum wird perspektivisch dargestellt wobei die Atome und Moleküle die weiter hinten sind verkleinert dargestellt werden.


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Bedienung

Nach dem Starten des Programs müssen als erstes Atome oder Moleküle in das Volumen eingebracht werden. Dies geschieht mit dem Button "Hinzufügen" Dabei muß vorher die Teilchenart (Atome oder Moleküle) ausgewählt werden, die Masse der Atome in Gramm pro Mol eingegeben werden, die Farbe der Teilchen für die Darstellung gewählt werden und die Anzahl der Teilchen angegeben werden, die hinzugefügt werden sollen. Beachte, dass sich die Masse immer auf die der Atome bezieht also im Molekül die Masse eines Atom bezeichnet. Die Farbe wird eingegeben indem mit der linken Maustaste auf das Farbfeld geklickt wird und dann die Farbe ausgewählt wird. Es empfiehlt sich dunkle Farben zu verwenden. Bei Verwendung von weniger als ca. 50 Atomen rechnet das Programm schnell genug, um einen guten Eindruck von der Bewegung zu geben. Bei jedem Hinzufügen von Teilchen werden diese zu einem neuen Ensemble zugeordnet. Die thermodynamischen Größen dieser Ensembles können später angezeigt werden. Es empfieht sich für Teilchen mit unterschiedlichen Eigenschaften unterschiedliche Farben zu verwenden, um sie in der Graphik unterscheiden zu können.

Vor dem Starten muss die Größe des Volumens angegeben werden, das immer die Form eines Würfels hat, dessen Kantenlänge eingegeben wird. Auch muss die Anfangsgeschwindigkeit angegeben werden. Als willkürliche Anfangsbedingung werden alle Teilchen mit gleicher Geschwindigkeit nach rechts gestartet. Die statistische Bewegung stellt sich nach einiger Zeit von selbst ein. Dazu müssen die Teilchen natürlich häufig genug miteinader stossen, weshalb das Volumen nicht zu groß sein sollte. Unter dem Start-Button wird die Temperatur in Kelvin angezeigt. Mit den Buttons "abkühlen" und "erwärmen" kann dem System Energie entzogen bzw zugeführt werden. Dadurch ändert sich die Temperatur. Mit jedem Click werden 5% der kinetischen Energie entzogen bzw. hinzugefügt.

Durch Setzen der Häkchen bei "Parameter für Ensemble anzeigen" wird ein Fenster geöffnet, das Mittelwerte für Geschwindigkeit und Energie eines Ensembles anzeigt. In dem Parameter-Fenster, sollte zuerst das Ensemble ausgewählt werden, für das die Parameter angezeigt werden sollen. Zur besseren Übersicht wird ein Teilchen des Ensembles eingeblendet. Weiter unten werden die mittleren Geschwindigkeitskomponenten, der mittlere Betrag der Translations-Geschwindigkeit und die Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat angezeigt. Darunter werden die mittleren Energien in den einzelnen Freiheitsgraden angezeigt. Die Angaben werden jeweils in Joule pro Mol bzw. Joule pro Teilchen angezeigt. Die Energien lassen sich auch als Vielfache von kB*T schreiben, wobei für jeden Freiheitsgrad eine eigenen Temperatur angegeben wird. So läßt sich gut die Verteilung der Energie auf die einzelnen Freiheitsgrade überprüfen. Um die Mittelwerte besser ablesen zu können kann eine Zeit lang gemittelt werden (Häkchen oben), wodurch sich neben dem Ensemble-Mittel auch ein Zeit-Mittel ergibt. Diese Mittelung führt im Gleichgewicht aber auch zu den richtigen Mittelwerten. Ganz unten werden die allgemeinen Teilcheneigenschaften des Ensembles angezeigt.

Durch Setzen des Häkchens bei "Geschwindigkeitsverteilung" kann überprüft werden, ob sich für das Ensemble eine Maxwell-Boltzmann-Verteilung einstellt. In dem entsprechenden Fenster muss wieder das Ensemble ausgewählt werden. Nach Erreichen eines thermodynamischen Gleichgewichts sollte dann die zeitliche Mittelung neu begonnen werden (Button unten links in diesem Fenster) und hinreichend lange gewartet werden, bis sich eine gute Statistik für die Verteilung ergeben hat. Während der Rechnung kann zwischen den Ensembles hin- und hergeschaltet werden, um die Verteilung unterschiedliche schwerer Teilchen miteinander zu vergleichen. Die Graphik kann als Bild gespeichert oder ausgedruckt werden. Auch können Zeichensatz und Strichdicke über das Menue ausgewählt werden.


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Numerische Realisierung

Die Bahnkurven der Teilchen werden durch Lösung der Newtonschen Bewegungsgleichungen mit Runge-Kutta 4. Ordnung berechnet. Die Schrittweite beträgt eine Femtosekunde (10-15 s). Es werden also 50 Zeitschritte pro Bild und 20 Bilder pro Sekunde berechnet. Als Potential wird ein Lennard-Jones-Potential verwendet. Für die Bindung der Atome in einem Molekül wird ein parabolisches Potential mit Minimum beim Bindungsabstand verwendet. Dadurch wird eine Dissoziation der Moleküle unterbunden. Bindungsabstände sind für Neon bzw. Stickstoff optimiert.


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