Grundlegende Aspekte zur Thermodynamik von Stirlingmaschinen

( Übersichtsvortrag / invited paper )

P. Mäckel, W. Steinchen, IMK, Uni Gh Kassel, und P. Feulner, Kassel

Kurzfassung: Die theoretische Beschreibung der thermodynamischen Vorgänge in Stirlingmaschinen ist mit inhärenten, verfahrensbedingten Problemen verbunden. Ursache sind die vollständig instationären Stoff- und Energieströme. Der geschlossene geometrische Aufbau, die Ähnlichkeit der Volumenänderungsraten und das homogene Arbeitsfluid des Gaskreislaufs ermöglichen hingegen, die entscheidenden Einflußgrößen (für indizierte Leistung und Wirkungsgrad) auf einen begrenzten Satz Kennzahlen zurückzuführen, der das ansonsten ausufernde Analyseproblem in geordnete und kohärente Strukturen faßt und zugleich Einsicht in die Auslegung bestimmenden Zusammenhänge eröffnet.

Abstract: The theoretical description of the thermodynamic process is in terms of unsteady fluid flow and heat transfer. Flow passage geometry, volume variations and associated gas processes are amenable to characterization in terms of a limited number of (dimensionless) parameters, respective numerical values of which determine computed performance (indicated specific cycle work and thermal efficiency). The resulting destillation of an otherwise bewildering number of design variables is a step in the direction of a communicable insight into Stirling cycle machine´s thermodynamic personality, and thus a step towards a facility in back-of-the-envelope thermodynamic design.

1 Einordnung der Thermodynamik von Stirlingmaschinen

The regenerator is probably the most vital component of a Stirling cycle machine,

as well as the most difficult to understand. (I. Urieli, Foreword /1/)

Die Auslegung von Stirlingmaschinen umfaßt vier Bereiche: Die Kinematik zur Transformation zwischen Volumenänderungs- und Nutzarbeit, die Festigkeitsanalyse von dynamisch und thermisch hochbelasteten Bauteilen, die äußeren Wärmeübertragungssysteme und schließlich die Thermodynamik zur Festlegung der Geometrie- und Stoffgrößen des Gaskreislaufs. Eine Differenzierung hinsichtlich der Bedeutung der einzelnen Teilaufgaben erübrigt sich, da ohne sorgfältige und wechselseitig abgestimmte Beachtung aller Aspekte nur per Zufall ein brauchbares Resultat entstehen kann.

Die thermodynamische Auslegung unterscheidet sich von den übrigen Teilbereichen insofern, als nur vergleichsweise wenige der charakteristischen Probleme mit denen des allgemeinen (thermischen) Maschinenbaus übereinstimmen. Damit sind auch die entsprechenden Lösungsansätze nicht übertragbar. Die thermodynamische Auslegung des Gaskreislaufs profitiert so vergleichsweise wenig von der allgemeinen Grundlagenforschung. Dabei ist das Verständnis des Phänomens nach den Worten von Finkelstein (im Vorwort zu /2/), noch auf derart niedrigem Niveau, daß selbst in Fachkreisen eine uneinheitliche Anschauung nicht nur zu grundlegenden Konstruktionsmerkmalen, sondern bereits zur Frage einer angemessenen Methode zur Auslegung und Optimierung zu finden ist.

Die Ursache liegt in den vollständig instationären Stoff- und Energieströmen des Gaskreislaufs von Stirlingmaschinen, dessen theoretische Beschreibung gegenüber kontinuierlich arbeitenden Wärme- und Verbrennungskrafmaschien wie Gas- und Dampfturbinen mit grundsätzlichen, verfahrensbedingten Problemen verbunden ist. Kontinuierlich arbeitende Maschinen können zumeist auf der Basis von stationären Fließprozessen analysiert werden. Durch die Anwendung von einfachen Bilanzgleichungen auf entsprechende Kontrollräume können prinzipielle Verbesserungen für die Prozeßführung identifiziert und umgesetzt werden. Bekannte Beispiele stellen die Zwischenüberhitzung zur Erhöhung der Mitteltemperatur oder die mehrstufige isentrope Verdichtung mit Zwischenkühlung dar /A1/. Auch die Auslegung der Strömungsführung von Turbomaschinen wurde durch einfache Geschwindigkeitsdreiecke bestimmt.

Nach Ansicht der Autoren beginnt die von Finkelstein angesprochene Divergenz nicht erst bei den Auslegungs- und Optimierungsmethoden des Gaskreislaufes, sondern schon mit der inkohärenten und möglicherweise auch unvollständigen Beschreibung des Problems. Dies ist sicherlich auch eine Ursache für den mangelhaften Austausch und das geringe gegenseitige Verständnis zwischen den etablierten Konstrukteuren, Entwicklern und Forschern. Der geometrische Aufbau des Gaskreislaufs, die volumetrische Ähnlichkeit der verschiedenen Konfigurationen, der Einsatz eines homogenen Arbeitsgases und die damit verbundene Anwendbarkeit des idealen Gasgesetzes bieten jedoch die Möglichkeit, die für Leistung und Wirkungsgrad entscheidenden Größen des Gaskreislaufes auf einen Satz dimensionsloser Kennzahlen zurückzuführen. Die Autoren möchten daher ein Plädoyer für eine dimensionslose Darstellungsweise geben, welche eine kohärente Basis für die theoretische oder experimentelle Analyse und für die technische Dokumentation von Gaskreisläufen darstellt. Die Reduktion auf die entscheidenden Parameter führt zugleich zu einem vergleichsweise überschaubaren Einblick in seine prinzipielle Arbeitsweise. Die für die Beschreibung maßgeblichen Einflußgrößen sollen dazu in den folgenden Abschnitten heuristisch identifiziert werden. Aufgrund des begrenzten Umfanges dieses Übersichtsbeitrages sei darüber hinaus auf die aktuelle und umfassende Darstellung in /1/ verwiesen.

2. Wärmeübertragung und Analysemethoden des Gaskreislaufs

There is something fundamentally wrong with the way in which regenerator theory has been transfered

to the context of the Stirling cycle machine. (A.J. Organ /1/)

Wärmeübertragung und Strömungsvorgänge sind aufgrund der Turbulenzproblematik der numerischen Simulation (bisher) nur begrenzt zugänglich. Die Basis für die Simulation des Gaskreislaufs stellen daher Grundlagenexperimente dar. Obwohl der Wärmeübergang zwischen der festen Oberfläche eines Kanals oder Körpers und dem daran entlang strömenden Fluid nicht nur für den Gaskreislauf von Stirlingmaschinen, sondern auch in vielen anderen technischen Anwendungen von Interesse ist, besteht jedoch nach Ansicht der Autoren auf diesem Gebiet ein Datenmangel, da ungeachtet der Phänomene der Wärmeübertragung die Modellbildung nur unter erheblich eingeschränkter Allgemeingültigkeit möglich und somit eine Übertragbarkeit der Erkenntnisse eingeschränkt ist.

In strömenden Fluiden wird die Wärme nicht nur durch reine (Fouriersche) Wärmeleitung übertragen, sondern der Energietransport erfolgt überwiegend durch die makroskopische Bewegung der Strömung. Diese physikalische Modellvorstellung einer Überlagerung der Wärmeleitung und des Energietransports durch das strömende Fluid ist die Wärmeübertragung durch erzwungene Konvektion. Diese liegt prinzipiell auch im Gaskreislauf von Stirlingmaschinen vor. Das "treibende" Potential zur Übertragung der Wärme Q stellt zwar der herrschende Temperaturgradient dar, hinsichtlich einer allgemeingültigen Beschreibung ist der Vorgang aber von einer Reihe charakteristischen Größen abhängig. Neben der charakteristischen Temperaturdifferenz D J , einer charakteristischen Geometrie und eine mit der Prozeßphase w oszillierenden Geschwindigkeit u₀ sind dies die Fluideigenschaften, hier die spezifisch isobare Wärmekapazität c_p, die dynamische Viskosität h , die Wärmeleitfähigkeit l und die Dichte r .

Die thermische Energiegleichung zeigt, daß eine Linearität und damit die Verwendung eines Wärmeübertragungskoeffizenten a nur dann zulässig ist, wenn konstante Stoffwerte vorausgesetzt werden können und der Einfluß der Dissipation vernachlässigbar ist. Eine Proportionalität zwischen der Wärmestromdichte und der Temperaturdifferenz D J ist daher unter den Bedingungen des Gaskreislaufs, wenn überhaupt, orts- und zeitabhängig. Es können daher ggf. nur mittlere Größen von a bzw. darauf aufbauend die mittlere Nusselt-Zahl, Stanton-Zahl und Wärmeübertragungsfähigkeit NTU definiert werden. Mangels Alternativen wird für die Beschreibung des Wärmeübergangs im Gaskreislauf auf Korrelationen aus stationären Versuchen zurückgegriffen. Diese sind darüber hinaus nur für wenige der möglichen Füllungen von Regeneratoren dokumentiert. In diesem Zusammenhang soll besonders auf die parallel veröffentlichten Erkenntnisse /5/ hingewiesen werden, durch die sogar die Brauchbarkeit der vorhandenen Korrelationen bezüglich des Übertragungsverhaltens von Regeneratoren in Frage gestellt wird. Zur Determinierung der thermischen Eigenschaften des Regenerators gehört weiter auch die Information über die Verknüpfungsstruktur, die sog. ‘Connectivity’, der Matrix zur Bestimmung des axialen Wärmestroms, die auch nicht hinreichend bekannt ist /6/, /7/.

Darüberhinaus bereiten die nichtlinearen Randbedingung wie eine orts- und zeitabhängige Wandtemperatur (T_w(x,t)¹ konst) erhöhte verfahrensbedingte Schwierigkeiten gegenüber den stationären Lösungen des Übertragungsverhaltens von Regenerator und Wärmeübertragern /5/,/8/,/1/. Die überwiegend auf den Regenerator von Stirlingmaschinen angewandte und auf Hausen zurückgehende Regeneratortheorie, wurde ürsprünglich für Winderhitzer von Hochöfen entwickelt. Das Verhältnis der durch den Winderhitzer hindurchgeblasenen Fluidmasse zu der enthaltenen, im englischen als flush ratio N_Fl bezeichnet, ist hierbei jedoch sehr viel größer als 1. Für Anwendungsfälle wie bei Winderhitzern mit "Flush-Raten" N_FL>>1 ist der Anteil der Flush phase nur ein Bruchteil gegenüber der übrigen Phase und wird daher in der Winderhitzertheorie nach Hausen vernachlässigt. Bei Regeneratoren von Stirlingmaschinen ist jedoch die Flush-Rate N_FL sehr viel kleiner als bei Winderhitzern, teilweise sogar kleiner als 1. Organ /1/ führt anschaulich durch einfache Betrachtung des Grenzfalles eines adiabaten Regenerators an einem Beispiel für N_FL<1 die Vernachlässigung der ‘Flushing phase’ ad absurdum. Alternativ entwickelt Organ /1/ eine Näherungs- und eine für den eindimensionalen Regenerator exakte Lösungen. Bild 1 verdeutlicht in der Formulierung der Einflußgrößen nach Hausen mit der reduzierten Regeneratorlänge L =NTU und der reduzierten Periodendauer P _H=N_Fl NTU ¶_V [(1-¶_V) N_TCR]^-1 den fundamentalen Unterschied für N_FL=15 (Bild 1a) und einem für Regeneratoren von Stirlingmaschinen repräsentativen Wert, hier N_FL=2.5 (Bild 1b).

Bild 1: h _Reg mit P _H als Parameter mit Berücksichtigung von N_FL (aus /1/ mit Genehmigung des Autors)

Der Einfluß von Diskontinuitäten von Temperatur und Druck bzw. ihrer Ausbreitungsgeschwindigkeit sowie die Behandlung in den möglichen Simulationsverfahren entsprechend der Wahl der Koordinaten (Finite Differenzen, Finite Elemente, Methode der Charakteristiken, Euler- oder Lagrange-Koordinaten) sind ein weiterer umstrittener Punkt. Das Lagrange-Koordinatensystem überzeugt jedoch schon allein durch die vergleichsweise einfachere Implementierung auf der Basis der ‘natürlichen’ Koordinaten für die Simulation des eindimensionalen Gaskreislaufs /1/ und geht als Favorit aus einem numerischen Vergleich von Euler- und Lagrange-Koordinaten mit der analytischen Lösung einer einfachen diskontinuierlichen Rohrströmung als vorteilhaft hervor /9/.

Abgesehen von den Problemen der numerischen Verfahren selbst werden nach Ansicht der Autoren ohne systematische, experimentelle Grundlagen die Diskrepanzen zwischen den theoretisch errechneten und den tatsächlich gemessenen Eigenschaften realer Stirlingmaschinen weiterhin nur durch willkürlich bestimmte Korrekturterme und Ausgleichsfaktoren im Analyseverfahren angepaßt werden können. Auf einer solchen Grundlage ist es zwar durch Bilanzierung von Idealleistung und Verlusten mehr oder weniger leicht möglich, eine Übereinstimmung von Leistung und Wirkungsgrad realer Maschinen zu erzielen, die Erkennung von prinzipiellen Auslegungstendenzen oder darüberhinaus eine Optimierung und Verbesserung ist jedoch auf einer solchen Basis mit Risiken behaftet.

3 Die Parameter des idealisierten Gaskreislaufs

The true reason for the existence of ideal thermodynamic cycles is probably to be found in the insatiable academic urge to order and to classify. (A.J. Organ /2/)

Anschauliche und zugleich aussagekräftige Analysemethoden, wie für den klassischen Fließprozeß erwähnt, scheinen für den Gaskreislauf des Stirlingprozesses zu fehlen. So bleibt es nicht aus, daß die Erklärung der thermodynamischen Arbeitsweise von Stirlingmaschinen oft anhand des idealen Stirlingprozesses im T-s und P-v Diagramm erfolgt. Der Wirkungsgrad h und die spezifische Arbeit pro Arbeitszyklus z des idealen Stirlingprozesses ergeben sich einfach aus den dabei unterstellten isochoren und isothermen Zustandsänderungen eines Fluides und sind Funktionen des Kompressions- oder Expansionsverhältnises (r bzw. e =1/r) sowie der Expansions- und Kompressionstemperatur (Nt =T_e/T_c ):

(1)

Fraglich ist jedoch der Bezug des ‘idealen Stirlingprozesses’ zum realen Gaskreislauf von Stirlingmaschinen klassischer Bauart. Der Begriff "klassisch" soll hier solche Maschinen repräsentieren, die effektive Wärmeübertrager und Regeneratoren mit vergleichsweise hoher Wärmeübertragungsfähigkeit (NTU) aufweisen, wie z.B. bei den Stirlingmotoren MP1002CA, GPU3 oder V160. Organ /2/ hat gezeigt, daß der ideale Stirlingprozeß nicht als Vergleichsprozeß bezüglich des klassischen Gaskreislaufs herangezogen werden kann, wie der Linde-Prozess zur Luftverflüssigung oder Joule-Prozeß für offene Gasturbinen. Der ideale Stirlingprozeß oder "Lehrbuchprozeß" hat ggf. noch für sogenannte ‘isothermaliser’ Bedeutung, bei denen (theoretisch) Isothermen für das gesamte Arbeitsfluid des Gaskreislaufes vorliegen, oder für den speziellen (trivialen) Fall, daß T_e=T_c bzw. N_T=1 ist.

Als Vergleichsprozeß für den klassischen Gaskreislauf von Stirlingmaschinen wurde daher eine Referenzmaschine definiert, die auf einer (sinnvoll) idealisierten Verkörperung der Volumenanteile von realen Maschinen basiert /2/. Der Gaskreislauf von klassischen Stirlingmaschinen teilt sich in fünf Arbeitsräume mit spezifischen Aufgaben, die in Bild 2 schematisch dargestellt sind. Die konstante Menge eines Arbeitsfluides oszilliert innerhalb der Arbeitsräume durch Änderung des Expansions- und Kompressionsvolumens. Dabei bewirken die Phasenverschiebung zwischen den Volumenänderungen sowie die Temperaturgradienten während eines Arbeitstaktes zugleich Druck- und Temperaturschwankungen des Arbeitsfluides, so daß der Stoffstrom einen gerichteten Energietransport bewirkt. Die Richtung des Energieflusses ist von der gewünschten Arbeitsweise des Prozesses, als Wärme- oder Kältemotor sowie als Wärmepumpe oder Kältemaschine abhängig.

Im Fall der idealisierten Referenzmaschine soll der Wärmeübergang zum Arbeitsgas unmittelbar und isotherm erfolgen. Der Regenerator ist ein absoluter thermischer Isolator. Die Temperatur fällt über seine axiale Länge von T_e nach T_c linear ab. Das Arbeitsfluid strömt ohne Druckverlust. Trotz diskontinuierlicher Volumenänderungsraten einer idealisierten Referenzmaschine mit diskontinuierlicher Kolbenbewegung kann hier nicht wie beim idealen Stirlingprozeß von einer isothermen Expansion bzw. Kompression gesprochen werden. Dies kann im folgenden anhand der Massenverteilung einfach gezeigt werden, wenn die Fluidtemperaturen und Geschwindigkeiten, wie bei der idealisierten Referenzmaschine, über die Querschnitte dA(x) als ideal und damit als konstant angenommen sind, so daß die Maschine eindimensional entlang der Strömungsachse x beschrieben werden kann.

Neben den Volumenänderungsraten V_E(f ) und V_C(f ) bestimmen die Temperaturen T_e und T_c sowie der Temperaturgradient T(x)=T_e+(T_c-T_e) x/L über die axiale Länge L des Regenerators die Massenverteilung des Arbeitsfluides (Bild 2). Auf der Basis des idealen Gasgesetzes m=(pV)/(RT) ergibt sich m_e(f )=p[V_E(f )+V_de]/(RT_e) bzw. m_c(f )=p(V_C(f )+V_dc)/(RT_c) für die Volumen der Temperatur T_e bzw. T_c. Nach Integration der Massenanteile dm eines infinitesimalen Querschnittselementes dA(x) über die Länge L des Regenerators ist die Masse des Arbeitsfluides im Regenerator m_r=pV_drln(1/Nt )/[RT_c(1-Nt )]. Verfolgt man nun in Abhängigkeit von f die Massenverteilung oder (in ‘natural’ oder realen Koordinaten /10/) die Verteilung einzelner Volumenelemente dV=A(x) dx, die eine feste, infinitesimale Anzahl Fluidteilchen beinhalten, entlang der Strömungsachse x, wird deutlich, daß nicht alle Volumenelemente die Expansions- bzw. Kompressionstemperaturen erreichen. Aufgrund dieser Ungleichheit ergeben sich für jedes Volumenelement unterschiedliche Zustandsgrößen v, s und T. Anstelle von p-v und T-s Diagramm ist nur die Darstellung des Drucks über dem Gesamtvolumen V(f ) zulässig /2/.

Durch die abschnittsweise Integration pdv des diskontinuierlichen Referenzprozesses kann die spezifische Arbeit W_cyc=ò pdv nach /2/, Anh. II, für beliebige Volumenänderungsraten berechnet werden. Dazu werden die oben berechneten Massen des Arbeistfluides der einzelnen Arbeitsräume zur Gesamtmasse m_ges=m_e+m_r+m_c aufsummiert und V_E(f ) und V_C(f ) zu n _i=V_i(f )/V_ref dimensionslos gemacht. Das restliche, konstante Volumen d _i=V_i,konst/V_ref wird zum temperaturabhängigen, reduzierten Totraum n _d(Nt )=d _e/Nt +d _rln(Nt )/(Nt -1)+d _c zusammengefaßt. Da die Maximalvolumina V_E und V_C unterschiedlich sein können, wird das Volumenverhältnis k =V_c/V_e eingeführt. Damit ergibt sich die Massenbilanz zu m_ges=pV_ref[n _e(f )/Nt +n _d(Nt )+k n _e(f )]/(RT_c). Löst man die Gleichung nach dem instationären Druck p bezogen auf m_gesRT_c/V_ref auf, erhält man als dimensionslose Größe y =pV_ref/(m_gesRT_c)= [n _e(f )/Nt +n _d(Nt )+k n _e(f )]^-1. Durch Integration des dimensionslosen Drucks y läßt sich die spezifische Arbeit z _mRTc=W_cyc/(m_gesRT_c)= ò y (dn _e+dn _c) von 0-2p bestimmen. Die spezifische Arbeit der Referenzmaschine wird so im Gegensatz zum idealen Stirlingprozeß (vgl. Gl. 1) eine Funktion des Temperatur-, Volumen- und Totraumverhältnisses. Der Wirkungsgrad bleibt jedoch allein eine Funktion von Nt :

(2)

Für harmonische Volumenänderungen n _e(f )=½V_E[1+cos(f )]/V_ref und n _c(f )=½V_Ek [1+cos(f -a )]/V_ref mit konstanter Phasenverschiebung a und festem Amplitudenverhältnis k =V_C/V_E existiert eine analytische Lösung für die isotherme Referenzmaschine. Sie geht auf Schmidt /3/ zurück. Der analytische Lösungsweg soll hier nicht nachvollzogen werden (siehe /1/ und /2/), sondern nur das Ergebnis für die spezifische Arbeit dargestellt werden. Gleichung (2) vereinfacht sich so zu:

(3)

Gl. 3 ist nur noch von Parametern abhängig, die über den Arbeitszykus konstant sind. Die spezifische Arbeit der isothermen oder Schmidt-Analyse steigt für kleine Toträume n _d(Nt ) bzw. d _i und nähert sich dabei derjenigen des idealen Stirlingprozesses. Bedingt durch die notwendigen Übertragungsflächen zur Regeneration und Wärmeübertragung kann eine wesentliche Eliminierung von Totraum theoretisch nur durch die Einführung von variabler Porosität etc. erfolgen. Erst für diesen möglicherweise nur theoretischen Fall würde der ideale Stirlingprozeß einen Bezug aufweisen.

Eine Veränderung der Volumenänderungsraten in Richtung idealisierter diskontinuierlicher Funktionen zur Erzeugung einer rein isochoren Verschiebung des Arbeitsgases ist - abgesehen von ihrer mechanischen Problematik - zwar prinzipiell realisierbar, N_FL von Regenerator und den Wärmeübertragern sowie die Fluidgeschwindigkeiten ändern sich dabei aber für den klassischen Gaskreislauf verhältnismäßig wenig gegenüber den harmonischen Volumenänderungen. Eine solche Maßnahme ist ggf. für langsamlaufende sogenannte "isothermalisierte" Stirlingmaschienen (Isothermaliser) Niedertemperatur-Flachplattenmotoren, die geringe Regenerator- und Wärmeübertragervolumina aufweisen, von Bedeutung.

Bei der Optimierung der Referenzmaschine nach der Schmidt-Analyse ergeben sich zwar optimale Leistungswerte für k und a in Abhängigkeit von der Temperatur /4/, andererseits läßt sich real z.B. die spezifische Arbeit nicht prinzipiell durch Steigerung des Kompressionsverältnisses allein über die Parameter d _i beliebig erhöhen. Schon aus diesem Grund kann daher allein auf dieser Basis eine Auslegung realer Stirlingmaschinen nicht getroffen werden /10/.

Die ideale Analyse stellt nur einen kleinen Ausschnitt und einen einfachen Zusammenhang dar, der jedoch das umfangreiche und vernetzte Problem einer erfolgreichen Auslegung des Gaskreislaufs andeutet. Die Optimierung des realen Gaskreislaufes stellt nicht nur aufgrund der Anzahl freier Parameter, sondern auch wegen der wechselseitigen Beziehungen innerhalb dieser Einflußgrößen ein vergleichsweise komplexes System dar. Die hier beschriebene idealisierte Darstellung hat aber dennoch für die weitere Analyse des Gaskreislaufs eine grundlegende Bedeutung, da sich auf dieser Grundlage ein sinnvolles Integrationsgitter aufbauen läßt (/1/, Kapitel 9.)

4. Vorteil dimensionsloser Betrachtungen

The results from a Similarity approach are therefore at least as accurate and pertinent (or at least as inaccurate and irrelevant) as those from a simulation based on the same defining equations. (A.J. Organ /1/)

Bei vielen technisch-physikalischen Problemen, die sich (bisher) einer rein theoretischen Lösung entziehen, wird auf die Verallgemeinerung der experimentellen Erkenntnisse durch die Anwendung der Ähnlichkeitstheorie zurückgegriffen. Voraussetzung dafür ist, daß das physikalische Problem unabhängig von dem gewählten Maßsystem ist. Die physikalischen Zusammenhänge lassen sich damit allein durch dimensionslose Parameter und Kennzahlen beschreiben. Die dimensionslosen Kenngrößen werden durch Division mit einem Bezugsmaß gebildet. Dadurch verringert sich die Anzahl deutlich gegenüber der Anzahl der Einflußgrößen. Der simulations- und/oder meßtechnische Aufwand wird so vermindert, da nur noch die Zusammenhänge zwischen den dimensionslosen Parametern und Kennzahlen entscheidend sind und nicht mehr das Maßsystem an sich.

Die dimensionslose Betrachtungsweise wurde auch auf den Gaskreislauf von Stirlingmaschine angewandt /11/. Die Gaskreisläufe, die in ihren (dimensionslosen) geometrischen Parametern übereinstimmen, sind nur dann einander ähnlich, wenn sie auch die gleichen Kennzahlen teilen. Solch ähnliche Gaskreisläufe lassen sich alleine durch Änderung der Bezugsgrößen ineinander überführen. Bestimmte Werte dieses Satzes von dimensionslosen Parametern und Kennzahlen (virtueller Gaskreislauf) stehen so - übertragen auf die dimensionsbehaftete Darstellung - für beliebig viele Gaskreisläufe unterschiedlicher Dimensionen. Dies eröffnet prinzipiell die Möglichkeit der Übertragung eines vorhandenen Gaskreislaufes bekannter Eigenschaften in eine gewünschte andere Leistungsklasse /12/.

Finkelstein /4/ wandte eine allgemeine dimensionslose Betrachtungsweise speziell auf die Volumenverhältnisse von Stirlingmaschienen an und konnte dabei die Ähnlichkeitsbeziehung zwischen den Volumenänderungsraten von Alpha-, Beta- und Gamma-Maschinenbauweisen aufzeigen. Organ /11/ stellte die vollständigen physikalischen Zusammenhänge zwischen den Einflußgrößen des Gaskreislaufes in Form der dimensionslosen Kennzahlen dar und erkannte den darin enthaltenen erheblichen Nutzen für die Auslegung /12/. Um die Anwendung der Ähnlichkeitsgesetze zu ermöglichen, werden die entsprechenden Kennzahlen des Gaskreislaufes der Stirlingmaschine im folgenden Abschnitt eingeführt.

5 Identifikation der Kennzahlen des realen Gaskreislaufs

How can one rationally design an engine when there is so much one doesn’t know that seems essential?

(Andy Ross, Making Stirling Engines. Ross Experimental, Ohio, 1993)

Die Kennzahlen des Gaskreislaufes können aus den Erhaltungsgleichungen für Masse, Impuls und thermische Energie abgeleitet werden /11/. Dazu werden die enthaltenen Variablen der Erhaltungsgleichungen durch Division mit geeigneten Bezugsgrößen dimensionslos gemacht. Die Erhaltungsgleichungen enthalten dann Potenzen aus den Basisgrößen, welche wiederum die gesuchten Kennzahlen bilden. Auch ohne Kenntnis des funktionalen Zusammenhanges kann das Problem, bestehend aus n dimensionsbehafteten charakteristischen Größen x_i, deren Dimensionen m Basiseinheiten enthalten, unter Zugrundelegung des Buckinghamschen P -Theorems /A2/, in die entsprechenden n-m entdimensionalisierten Größen bzw. Kennzahlen zerlegt werden. Einige dieser Kennzahlen sind rein geometrische Parameter, wie z.B. die in Abschnitt 1 eingeführten bezogenen Volumia d _i=V_i,konst/V_ref. Die Behandlung der geometrischen Kennzahlen ist evident. Diese soll später gesondert betrachtet werden. Von Interesse sind vorerst die Kennzahlen, die unabhängig von der geometrischen Ähnlichkeit die Ähnlichkeit der Wärme- und Stoffströme bestimmen.

Die maßgeblich relevanten Einflußgrößen des Gaskreislaufs gliedern sich in eine charakteristische Geometrie G₀, in die Parameter zur Beschreibung der Arbeitsgaszustände und Eigenschaften (R, c_p, h , l , p_ref), in die thermischen Materialeigenschaften (l _j, r _j, c_j) von j Baugruppen (Regenerator etc.), in die Temperaturen (T_e, T_c), bei denen die Wärme über die Systemgrenzen des Gaskreislaufes übertragen wird, in die Winkelgeschwindigkeit w als charakteristische Zeitgröße und schließlich die Wellenarbeit W. Von Interesse ist letztlich die abgegebene Arbeit W, die eine Funktion dieser Einflußgrößen darstellt:

W=f(L₀, R, c_p, h , l , p_ref, l _j, r _j, c_j, T_e, T_c, w ) (4)

Es bestehen somit n=9+(3j) dimensionsbehaftete Einflußgrößen, mit m=4 Dimensionen (Länge, Zeit, Masse und Temperatur). Die n dimensionsbehafteten Einflußgrößen reduzieren sich so auf 9+(3j)-4=5+(3j) entdimensionalisierte Parameter bzw. Kennzahlen. Prinzipiell können zwar beliebig viele dimensionslose Kennzahlen aus den dimensionsbehafteten Einflußgrößen gebildet werden, alle weiteren Potenzprodukte der 5+(3j) unabhängigen Kennzahlen enthalten jedoch keine inhaltlich neue Information bezüglich des Problems (vgl. Abschn. 6). Der hier im folgenden gewählte Satz unabhängiger Kennzahlen ist daher nur eine Gruppe von unendlich vielen möglichen Kombinationen unabhängiger Kennzahlen.

Einige der möglichen unabhängigen Kennzahlen dieser Gruppe wurden schon in den Abschnitten 1 und 2 eingeführt. Es waren das Temperaturverhältnis Nt =T_e/T_c, die spezifische Arbeit pro Arbeitstakt z =W/(p_ref/V_ref) und die dimensionslosen Längenparameter (k , a und d _i ). Bekannt ist weiter der Isenthropenexponent g =1/(1-R/c_p). Die Kennzahl für die Ähnlichkeit der kinematischen Bewegungsgrößen (Länge und Zeit) ist die Mach-Zahl N_MA. Wird als charakteristische Geschwindigkeit das Produkt aus der Drehzahl w und einer Referenzlänge L₀ gebildet, ist N_MA=w L₀/Ö (RT_ref). Die Ähnlichkeit der Strömungsvorgänge (Geschwindigkeitsfeld) mit der Wärmeleitung und Konvektion (Temperaturfeld) verknüpft die Prandtl-Zahl, N_PR=h c_p/l . Die Stirlingzahl bildet das Verhältnis von Druck- zu Viskositätseffekten, N_SG=p_ref/w h _ref. Die letzen Kennzahlen erfassen die Ähnlichkeit der Temperatur- und Geschwindigkeitsfelder des Arbeitsfluides im Gaskreislauf. Berücksichtigt werden muß jedoch auch das Temperaturfeld in den Festkörpern wie im Regenerator oder den Wärmeübertragern. Die Wärmeleitvorgänge in diesen sind dann ähnlich, wenn die von den Materialeigenschaften (l _j, r _j, c_j) abhängige Fourier-Zahl N_F=a/(w L₀²) (mit a als Temperaturleitwert a=l _j/(r _j,c_j) ) und das thermische Kapazitätsverhältnis N_TCR=T_{refr j}c_j/p_ref identisch sind.

Die zugeführte Wärme pro Arbeitstakt und somit der Wirkungsgrad h ergeben sich durch Bilanzierung der Verluste und der Wellenarbeit. Die funktionale Abhängigkeit der spezifischen Arbeit (und des Wirkungsgrades h =W/Q_zu) von den Kennzahlen und den Parametern (vgl. Gl. 4)

(5)

und die grundsätzliche Relevanz dieser Gruppen kann auch auf experimenteller Grundlage überprüft werden. Auf diese Möglichkeit wird noch im folgenden Abschnitt eingegangen.

6 Erweiterte Ähnlichkeit des Gaskreislaufs

The principles of ‘scaling’ have not yet been engraved in stone. (A.J. Organ, Sommer ‘95)

Grundlage für eine strenge physikalische Ähnlichkeit ist grundsätzlich die geometrische Gestalt, also gleiche geometrische dimensionslose Parameter des Gaskreislaufs. Nur in wenigen Ausnahmen läßt sich jedoch wegen der großen Anzahl der relevanten Einflußgrößen eine strenge geometrische Ähnlichkeit (winkel- bzw. formtreue) oder strenge mechanische Ähnlichkeit (Kräfte, Geschwindigkeiten, Arbeiten usw.) realisieren, sondern es kann nur eine beschränkte Anzahl physikalischer Grundgleichungen ähnlich übertragen werden. Die strenge Ähnlichkeit ist jedoch nicht Sinn und Ziel der Auslegung eines neuen Gaskreislaufs /12/. Wichtig ist die Übertragung der hinsichtlich Leistung und Wirkungsgrad (energetisch) dominierenden Größen.

Organ zeigt /2/, daß die thermische Ähnlichkeit der Wärmeübertrager (charakterisiert durch die Gruppe N_F und N_TCR, also die zeitliche und örtliche Ähnlichkeit des Temperaturfeldes in deren Festkörpern) eine vergleichsweise untergeordnete Rolle spielt. Für den Regenerator als hochfrequent arbeitender thermischer Speicher hingegen hat diese Gruppe jedoch maßgeblichen Einfluß. Eine Besonderheit für die Fourier-Zahl N_F=a/(w d_r²) des Regenerators besteht darin, daß hier als Referenzlänge i. a. der Drahtdurchmesser des Regeneratorgewebes gewählt wird. Ansonsten bietet sich als sinnvolle Wahl der Refenzgeometrie /2/ der themodynamische Hub V_sw (V_ref=V_sw, A_ref=V_sw^2/3, L_ref=V_sw^1/3) an, da dieser unabhängig von der Bauweise ist und zugleich ein charakteristisches Maß für die Baugröße der Maschine darstellt. Auf dieser Basis sollen nun (neben d _i der Schmidt-Analyse) die weiteren geometrischen Parameter identifiziert und dimensionslos gemacht werden:

Repräsentative Wärmeübertrager des Gaskreislaufs bestehen in der Regel aus n parallel angeordneten Strömungskanälen gleicher Form und Länge. Die prinzipielle Querschnittsform wie Kreis- (V160) oder Rechteckquerschnitt (Philips MP1002CA) ist eine weitere Eigenschaft, die hinsichtlich der erweiterten (dynamischen oder energetischen) Ähnlichkeit gegenüber der strengen geometrischen Ähnlichkeit, berechtigterweise vernachlässigbar ist /2/. Maßgeblich für die Strömung und Wärmeübertragung sind hingegen das dimensionslose Volumen d _x, die dimensionslose Kanallänge l _x=L_x/V_sw^1/3, der dimensionslose Strömungsquerschnitt a _x=nA_Kanal/V_sw^2/3 und der von der Kanalanzahl unabhängige dimensionslose hydraulische Radius l _hx=r_h/V_sw^1/3. Die Geometrie der Wärmeübertrager ist schon mit 3 der 4 Parametern hinreichend definiert. Zur vollständigen geometrischen Beschreibung des Regenerators ist jedoch eine Angabe über die drei charakteristischen Paramter (zur Berechnung siehe /2/) der "äußere Hülle" hinaus mindestens eine weitere geometrische Größe, wie die Porosität (¶_V=Fluidvolumen/Gesamtvolumen), notwendig. Die Geometriegrößen a und k ergaben sich aus Abschnitt 3. Die dynamische Ähnlichkeit hinsichtlich z und h ist somit dann hinreichend gegeben, wenn der Satz

(6)

zweier Gaskreisläufe identisch ist. Weisen diese darüber hinaus weitere Eigenschaften z.B. spezifische Regeneratorgrößen (siehe /6/) oder zusätzliche Toträume (d _E,d _er,d _cr,d _C) in Form von Verbindungskanälen auf (vgl. Bild 2), sollte dies nicht unberücksichtigt bleiben, da dieser mehr oder weniger vollständig dargestellte Satz Parameter und Kennzahlen nur aus den in Abschnitt 3 und 5 zusammengetragenen Einflußgrößen besteht. Die Kombination von neuen dimensionslosen Größen aus diesen Kennzahlen, wie der Reynolds-Zahl N_Re aus N_RE=N_SGN_MA² zur Beschreibung der Ähnlichkeit von Trägheits- und Reibungskräften Newtonscher Flüssigkeiten, beinhaltet jedoch keine weiteren Informationen hinsichtlich des physikalischen Zusammenhangs. Nur durch Hinzufügen einer physikalisch neuen Information kann sich eine neue, sinnvolle Kombination dieser Kennzahlen ergeben, die den Zusammenhang zwischen den Differentialgleichungen weiter beschreibt. Dieser Schritt wurde mit der Einführung der energetischen Ähnlichkeit von Organ und Finkelstein /12/ vollzogen.

Eine Kombination ist die charakteristische Mach-Zahl eines jeweiligen Wärmeübertragers und des Regenerators, die sich aus der Kombination von N_MA und des jeweiligen normalisierten Strömungsquerschnittes a _x=a _e, a _r, a _r ergibt. In Gl. (7a) ist jedoch der anteilige Totraum enthalten, der selbst ein Parameter des virtuellen Gaskreislaufs und somit konstant ist. Es verbleibt eine neue Kennzahl Gl. (7b):

(a) (b) (7)

Diese Kennzahl beinhaltet unter Vernachlässigung der strengen geometrischen und strengen dynamischen Ähnlichkeit die Ähnlichkeit der Ausbreitung von Druckinformationen. Mit der Bedingung N_Mx=konstant kann eine weitere signifikante physikalische Information hinzugefügt werden, die auf der Reynolds-Analogie basiert. Aus dem allg. bekannten empirischen Ansatz N_st=0.023N_re^-1/5 N_pr^-2/3 speziell für die Rohrströmung mit N_re>10⁴ /A3/ und speziell für repräsentative Regeneratoren N_st=N_re^-1/2N_pr^-2/3 mit 10^2£ N_re£ 10⁵ nach /A4/ ergeben sich Ähnlichkeitskennzahlen für die Wärmeübertrager Gl. (8a) und den Regenerator Gl. (8b) proportional zu NTU. In diesen ist wiederum N_SG enthalten :

(a) (b) (8)

Eine ausführliche Herleitung ist in /1/ enthalten. Die Kombination von N_MA und a _x zu N_Mx sowie von N_SG und l _h führen auf den Satz Kennzahlen der energetischen Ähnlichkeit Gl. (9) des Gaskreislaufs:

(9)

Auch hier sind ggf. weitere Eigenschaften (z.B. d _E,d _er,d _cr,d _C etc.) zu berücksichtigen. Die energetische Ähnlichkeit beschreibt somit eine Stufe der Ähnlichkeit zwischen den Gaskreisläufen, die zwar gleiche Leistungseigenschaften, jedoch nicht notwendigerweise gleiche Geometrie, Drehzahlen, Mitteldrücke oder Arbeitsfluide (mit identischem g ) aufweisen. Die Ähnlichkeit beruht hierbei darauf, daß die entsprechenden Elemente des Arbeitsfluides einen ähnlichen Prozeß an den korrespondierenden Punkten eines Zyklus durchlaufen. Stimmen alle Kennzahlen von Gl. (9) überein, ergibt sich z.B. mit verschieden Arbeitsfluiden bei gleicher Winkelgeschwindigkeit w , gleichem Mitteldruck p_mean, thermodynamischen Hub V_sw und Toträumen d _x (und anderen Kombinationen) der gleiche thermodynamische Prozeß und somit identische z und h . Äußerlich (geometrisch) fallen diese Gaskreisläufe jedoch unterschiedlich aus, da sie auf die Eigenschaften des Arbeitsfluides abgestimmt sein müssen /16/.

Der experimentelle Nachweis bezüglich der maßgeblichen Relevanz der in Gl. (6) und (9) enthaltenen Kennzahlen und die Unabhängigkeit vom gewähltem Maßsystem kann mit verschiedenen Ansätzen erbracht werden. So können beispielsweise die beeinflußbaren Parameter einer Stirlingmaschine so geändert werden, daß sich trotzdem identische Kennzahlen ergeben. Die Änderungsmöglichkeiten beschränken sich dabei nur auf das verwendete Arbeitsgas (R, c_p, h , l ), den Mitteldruck p_mean und die Drehzahl, wobei die geometrische Ähnlichkeit zwangsweise eingehalten wird /1//2//13//14/. Eine weitere Möglichkeit der Überprüfung, die über die strenge geometrische Ähnlichkeit hinausgeht und die unterschiedliche Baugrößen einbezieht, besteht in dem Vergleich der Kennzahlen unabhängig voneinander optimierter Stirlingmaschinen an entsprechenden Arbeitspunkten (z.B. max. z ) /15//16//1/. Bild 3 zeigt hierzu die Korrelation von N_Mc,=w L_x/Ö (RT_c der Kompressionswärmeübertrager verschiedener Stirlingmotore. Es spricht für sich, daß diese acht namentlich gekennzeichneten Maschinen für drei unterschiedliche Arbeitsfluide (Luft, He, und H₂) gebaut sind und ein Faktor > 1000 zwischen der Leistung der größten 291kW (Philips Hp400/Cyl) und kleinsten 0.25kW (Philips MP1002CA) Maschine pro Gaskreislauf liegt /16/.

7 Der Teil und das Ganze

The only firm conclusion to be drawn is that intuition is a treacherous tool for investigation of

the innocent Stirling cycle. (A.J. Organ /10/)

Auch wenn in der Vergangenheit die Anstrengungen großer Entwicklungsprogramme (mit oder ohne Computer) von Philips, General Motors, Ford, MAN etc. insbesondere zum Stirlingmotor, im Sande verlaufen sind, bietet sich die Ähnlichkeitsbetrachtung als ein relativ wirkungsvolles und zugleich einfaches Werkzeug an, um Anteile dieses Vermächtnisses für neue Ansätze verwertbar zu machen. Um so die vorhandene Erfahrung mit dem neu entfachten Interesse an Stirlingmaschinen zusammenzuführen, sollte für zukünftiger Arbeiten und ihre Dokumentation (ob auf der Grundlage der numerischen oder experimentellen Optimierungen) eine kohärente dimensionslose Basis gefunden werden.

Welche Methode auch immer für die thermodynamische Auslegung herangezogen wird, es zeigt sich spätestens bei der Auslegung der Schnittstelle (Wärmeübertrager) die Notwendigkeit der Einbindung des Gaskreislaufs in das Gesamtsystem. Umgekehrt hat die Anpassung der Wärme transportierenden Subsysteme entscheidenden Einfluß auf die Gestaltungsfreiheit dieser Schnittstellen und somit auf den Gaskreislauf. Am deutlichsten ist dies bei der gegenseitigen Abstimmung von Expansionswärmeübertrager, Brennkammer und Luftvorwärmer beim Stirlingmotor der Fall. Vom Standpunkt des Konstrukteurs kann hier mit einiger Berechtigung gesagt werden, daß der Expansionswärmeübertrager um die Brennkammer herum entworfen wird, wie der Gaskreislauf um den Regenerator.

8 Allgemeine Referenzliteratur:

/A1/ Baehr H.D.: Thermodynamik, 7 Aufl., Springer Verlag, Berlin, 1989.

/A2/ White F.M.: Fluid mechanics, McGraw Hill, Kogakushia, Tokio, 1979

/A3/ Baehr H.D., Stephan K.: Wärme und Stoffübertragung, Springer Verlag, Berlin, 1994

/A4/ Kays, W.M. and London A.L.: Compact heat exchangers, Second Edition, McGraw Hill, New York, 1964

9 Literatur zur Thermodynamik von Stirlingmaschinen:

/1/ Organ A.J.: The Regenerator and the Stirling Engine, Mechanical Eng. Publications, London, 30.10.1997

/2/ Organ A.J.: Thermodynamics and Gas Ddynamics of the Stirling Cycle Machine, Cam. Uni. Press, 1992

/3/ Schmidt, G.:Theorie der Lehmann´schen calorischen Maschine, Zeitung des Vereins deutscher Ing. 1871

/4/ Finkelstein T.: Optimisation of the phase angle and volume ratio for Stirling engines, Paper 118C Proc. 5AE Winter Anual Meeting, 1960.

/5/ Organ A.J.: Regenerator theory - a neglected resource, Europäischen Stirling Forum 1998, Osnabrück

/6/ Organ A.J. and Mäckel P: ‘Connectivity’ and Regenerator themal shorting, Europäisches Stirling Forum, Osnabrück, 1996

/7/ Steinchen W., Mäckel P., Kupfer G., Yang, L. X.: Digital Interferometry for Quantifing Connectivity, 8^th International Stirling Engine Conference and Exhibition, May 1997, Ancona

/8/ Organ A.J.: Solution of the conjugate heat exchanger problem, Proc Inst Mech Engrs, Vol 211 Part C, 1997

/9/ Organ A.J.: The great Stirling Simulation Fraud, Europäischen Stirling Forum, Februar 1996, Osnabrück

/10/ Organ A.J.: ‘Natural’ coordinates for analysis of the practical Stirling cycle, Proc.Instn.Mech.Engrs.Vol 206, 1992

/11/ Organ A.J.: Anatomy of the Stirling engine cycle. Proc. Instn. Mech. Engrs., pp 161-173, Vol. 207, 1993

/12/ Organ A.J. and Finkelstein T.: So you want to design a Stirling engine. Paper 95-218, Proc. 30 IECEC, ASME, Orlando, Florida, USA, July 31-Aug.4, 1995

/13/ Olson J.R, Swift G.W.: Similitude in thermoacoustics. Paper LA-UR-93-2840, Los Alamos National, New Mexico, USA

/14/ Prieto J.I. et al: Notes on the scaling process of Stirling Machines. Paper ICSC-95 039, Proc. 7^th Int. Stirling cycle machines, Japan Soc. Mech. Engrs., Tokyo Nov. 5-8, pp 259-264

/15/ Organ A.J.: Anatomy of the Stirling engine cycle. Proc. Instn. Mech. Engrs., pp 161-173, Vol. 207, 1993

/16/ Mäckel P., Steinchen W: Working fluids and Stirling gas circuit design, 8^th International Stirling Engine Conference and Exhibition, May 1997, Ancona

Fußnoten:

Gaskreislauf: Dieser Begriff soll die reale oder virtuelle geometrische Verkörperung der Prozeßräume, die thermodynamischen Eigenschaften von Regenerator und Arbeitsfluid sowie abhängig von der gewählten Systemgrenze die der Wärmeübertrager bezeichnen. Ein virtueller Gaskreislauf wird in Abschnitt 5 und 6 definiert.

Flushing Phase (Spülphase): Phase nach der Strömungsumkehr, in der das noch nicht vollständig durch den Regenerator hindurchgeströmte, verbliebene Fluid in der anderen Richtung wieder herausgespült wird

N_TCR (therm. Kapazitätsverhältnis) und ¶_V (Porosität) werden in den Abschnitten 5 und 6 näher erläutert