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Al­geb­rais­che Flusskor­rek­tur für Orts- und Zeit­diskret­is­ier­ungen hy­per­bol­ischer Er­hal­tungsgleichun­gen

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Prof. Dr. Dmitri Kuzmin (TU Dortmund)

Abstract:

Die Diskretisierung hyperbolischer Erhaltungsgleichungen stellt hohe Anforderungen an die Güte des numerischen Verfahrens. Oft führt eine Verletzung von Maximumprinzipien und/oder Entropieungleichungen zu numerischen Instabilitäten oder unphysikalischen Lösungen. Es gibt zwar Ansätze, die für beliebige Eingangsdaten beweisbar physikkonform sind. Allerdings können sie höchstens von erster Ordnung genau sein. Um alle relevanten Nebenbedingungen zu erfüllen, ohne die hohe Approximationsordnung in glatten Bereichen zu verlieren, muss die Diskretisierung an den lokalen Lösungsverlauf angepasst werden. Das Konzept von "algebraic flux correction" (AFC) bildet einen allgemeinen Rahmen für die praktische Realisierung und theoretische Absicherung einer solchen Adaption. Dieser Vortrag gibt einen Überblick über die neuesten Entwicklungen auf dem Gebiet der algebraischen Flusskorrektur für Finite-Elemente-Diskretisierungen nichtlinearer hyperbolischer Probleme auf unstrukturierten Gittern. Ein besonderes Highlight sind neuartige Limiter-Techniken für semi-diskrete Galerkin-Verfahren und allgemeine Runge-Kutta-Zeitdiskretisierungen. Ausgehend von einer Approximation hoher Ordnung kombiniert ein AFC-Ansatz diese mit einem physikkonformen Verfahren niedriger Ordnung unter Berücksichtigung diskreter Maximumprinzipien und Entropiebedingungen. Die lokale Anpassung erfolgt anhand eines nichtlinearen Korrekturterms, der sich aus antidiffusiven Flüssen zusammensetzt. Um relevante Nebenbedingungen zu erzwingen, wird jeder Fluss mit einem adaptiven Korrekturfaktor multipliziert. Die Wahl der Korrekturfaktoren sorgt dafür, dass angepasste Zwischenzustände zulässig bleiben und das resultierende Verfahren eine (semi)-diskrete Entropieungleichung erfüllt. Die Bedeutung eines jeden Korrekturschritts wird im Vortrag an numerischen Beispielen veranschaulicht.

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