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Modi­f­iz­ierte Pa­tankar Ver­fahren - The­or­et­ische Un­ter­suchun­gen und die An­wendung bei Flach­wasser­gleichun­gen

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Dr. Philipp Öffner (Universität Mainz)

Abstract:

Viele Phänomene in der Natur werden mittels gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen beschrieben. Hierbei bilden Produktions-Destruktion (PD) Systeme eine besondere Klasse und finden Anwendung bei der Modellierung von chemischen und biologischen Prozessen aber auch in der Semidiskretisierung von hyperbolischen Bilanzgleichungen. Zum Lösen dieser PD System wurden in den letzten Jahren die modifizierten Patankar (mP) Verfahren entwickelt. Die mP Verfahren basieren auf klassischen Runge-Kutta (RK) oder Deferred Korrektion (DeC) Methoden. Durch Gewichtung der Produktions- bzw. Destruktionsterme konnte man konservative und positiviätserhaltende Verfahren konstruieren. Allerdings ist bis heute nichts über die Stabilitätseigenschaften der mP Verfahren bekannt, schlimmer noch fallen die mP Verfahren durch die Gewichtung aus der Klasse der linearen Einschrittverfahren, sodass auch eine klassische Stabilitätsanalyse keinerlei Information liefert. Im ersten Teil des Vortrags werde ich mich mit diesem Problem beschäftigen. Ich wiederhole die grundlegenden mP Methoden und untersuche sie hinsichtlich ihrer Robustheit. Hierbei analysiere ich ein einfaches lineares PD System und berichte von Ordnungsreduktion und nicht-physikalischen Oszillationen in Abhängigkeit von dem gewählten Zeitschritt [2]. Nach diesem theoretischen Abschnitt konzentrieren wir uns im zweiten Teil des Vortrags auf die Anwendung der mP Verfahren, speziell des mpDeC. Durch Kombination von WENO und mpDeC ist es möglich, positive, ausbalancierte (well-balanced) Verfahren beliebig hoher Ordnung für hyperbolische Bilanzgleichungen zu konstruieren. Ich erkläre dies am Beispiel der Flachwassergleichung und belege es durch numerische Simulationen, cf. Figure 1.

 

[1] P. Öffner and D. Torlo. “Arbitrary high-order, conservative and positivity preserving Patankar-type deferred correction schemes”, Applied Numerical Mathematics, 153, 2020.
[2] D. Torlo, P. Öffner, H. Ranocha “Issues with Positivity-Preserving Patankar-type Schemes’, arXiv 2108.07347, 2021.
[3] M. Ciallella, L. Micalizzi, P. Öffner, D. Torlo “An Arbitrary High Order and Positivity Preserving Method for the Shallow Water Equations”, arXiv:2110.13509, 2021.

 

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