Wenn wir in der Vorlesung vom Chi-Quadrat-Test reden, meinen wir damit präzise ausgedrückt Pearsons Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit. Andere Namen sind auch Kreuztabellenanalyse, Kontingenztafelanalyse oder auch die englische Bezeichnung Cross-Tabulation (kurz Crosstabs).

Wie die Bezeichnung des Tests bereits vermuten lässt, gibt es mehr als nur den einen Chi-Quadrat-Test. In diesem WBT soll uns jedoch lediglich Pearsons Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit interessieren.

Das hierbei verwendete empirische Chi-Quadrat Χ²_emp ist ein sogenanntes Zusammenhangsmaß. Durch das Ermitteln von Χ²_emp für unsere Stichprobe n können wir rechnerisch herausfinden, ob ein Zusammenhang zwischen zwei (oder auch mehreren) betrachteten Variablen X und Y besteht. Gleichzeitig stellt Χ²_emp auch die Prüfgröße des dazugehörigen Hypothesentest dar.

Karl Pearson (1857 - 1936)

Karl (eigentlich Carl) Pearson wurde im 19. Jahrhundert in England geboren. Er gilt als Begründer der modernen Theorie der mathematischen Statistik, war aber auch in anderen Bereichen tätig, z.B. Eugenik, Germanistik, Politik u. a. Zudem gilt er als Gründer der Biometrik.

In der Statistik ist er besonders für den Korrelationskoeffizienten r bekannt, sein Wirken umfasst jedoch weitaus mehr. So werden ihm u. a. der Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit sowie Grundlagen zu Testtheorien wie dem statistischen Hypothesentest zugeschrieben.

Pearson war zudem Mitbegründer des wissenschaftlichen Journals "Biometrika". Außerdem besetzte er als Erster den Lehrstuhl für nationale Eugenik, also die auf Nationalstaaten beruhenden Erbgesundheitslehre, am University College London. Er war also durchaus patriotisch bzw. nationalistisch eingestellt.

Zuvor haben Sie in der Vorlesung bereits die univariate Auswertung kennengelernt. Dabei wurde die Verteilung einer einzelnen Variable mit Hilfe der Lage- und Streuungsmaße beschrieben.

Viel häufiger ist es in den Sozialwissenschaften jedoch notwendig, zwei (oder mehr) Variablen auf einen Zusammenhang untereinander zu untersuchen. Dies ist die bivariate (bzw. multivariate) Auswertung. Da sich die verschiedenen Skalenniveaus jedoch in Informationsgehalt, Ausprägungen etc. voneinander unterscheiden, können wir zur Untersuchung des Zusammenhangs nicht für alle Skalenniveaus das gleiche Zusammenhangsmaß verwenden.

Das Zusammenhangsmaß Chi-Quadrat und der dazugehörige Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit werden verwendet, wenn die beiden Variablen X und Y, die auf einen Zusammenhang untersucht werden sollen, beide Nominalskalenniveau besitzen.

Wie bereits erwähnt stellt Pearsons Chi-Quadrat-Test, den wir hier betrachten, nur eine bestimmte Form des Chi-Quadrat-Tests dar. Dabei beruht er auf einer gewissen Logik, mit der wir bei der Ermittlung des Zusammenhangs der Variablen X und Y vorgehen.

Die ganze Zeit ist die Rede vom Zusammenhang zweier Variablen X und Y. Eine Frage ist bisher jedoch noch ungeklärt:

Was bedeutet überhaupt Zusammenhang?
Und wann besteht zwischen zwei Variablen X und Y ein Zusammenhang?

Ein statistischer Zusammenhang zwischen zwei Variablen X und Y besteht also, wenn diese sich salopp gesagt gegenseitig beeinflussen.

Ein Beispiel: Bei Fluggesellschaften gibt es eine geforderte Mindestgröße, um Pilot/in werden zu können. Diese liegt (je nach Gesellschaft) bei mindestens 1,60 m. Treffe ich nun eine Person, die Pilot/in ist, weiß ich, dass ihre Körpergröße mindestens 1,60 m beträgt, ohne zuvor nachmessen zu müssen.

Das Gegenteil des statistischen Zusammenhangs ist die statistische Unabhängigkeit. Gemeint ist dabei die in der Wahrscheinlichkeitstheorie (=Stochastik) formulierte Unabhängigkeit, die sich wie folgt ergibt:

Zwei Ereignisse A und B sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit p ihres gemeinsamen Auftretens gleich ihrem Produkt ist

Stellen Sie sich vor, Sie haben einen Würfel, den Sie zweimal werfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal eine 6 zu werfen?
Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf die 6 zu würfeln, beträgt 1/6. Das gilt sowohl für den ersten als auch für den zweiten Wurf. Die Wahrscheinlichkeit, zweimal die 6 zu werfen, ist also 1/6 x 1/6 = 1/36. Laut Definition der stochastischen Unabhängigkeit sind also die beiden Ereignisse – die beiden Würfe – voneinander unabhängig.

Die Χ²-Formel

Fahren Sie mit der Maus über die Bestandteile der Formel! Wenn Sie auf die hervorgehobenen Teile der Formel klicken, startet eine Audiodatei mit Erklärungen.