Quasiperiodische Schwingungen

Quasiperiodische Schwingungen treten infolge der Überlagerung von Schwingungen mit inkommensurablen Frequenzen auf. Typische Beispiele aus der praktischen Anwendung sind oft auf simultane Selbst- und Fremderregung zurückzuführen, bei welcher die Selbsterregungsfrequenz durch die nichtlineare Eigendynamik bestimmt ist, während die Frequenz der Fremderregung dem System von außen aufgeprägt ist. Sind beide Frequenzen näherungsweise kommensurabel kann es zur Synchronisation kommen und die Systemantwort wird periodisch - im allgemeinen Fall ist jedoch mit quasiperiodischen Signalen zur rechnen. Typische Beispiele aus der Anwendung stammen aus der Rotordynamik, Laserdynamik, Populationsdynamik, etc. In der Mathematik wurden bereits geeignete Verfahren zur Beschreibung quasiperiodischer Schwingungen hergeleitet, jedoch wurden diese bislang kaum zur Untersuchung von Ingenieuranwendungen eingesetzt.

Im aktuellen Fokus stehen die Untersuchung und Validierung verschiedener Methoden zur Lösungsbestimmung quasi-periodischer Lösungen. Hierbei wird der Zugang über invariante Mannigfaltigkeiten gewählt.

Es wurde ein Pfadverfolgungsalgorithmus entwickelt, mit dem sowohl periodische, als auch quasi-periodische Lösungen verfolgt werden können. Des Weiteren wurde am Fachgebiet ein Verfahren entwickelt, das basierend auf der Methode der Charakteristiken die Stabilität von quasi-periodischen Lösungen bestimmen kann. Dies ermöglicht eine Detektion von Bifurkationspunkten, die als Grundlage für eine Untersuchung von Synchronisationseffekten dienen.

Im Hinblick auf Betriebspunkte von praktischen Anwendungen ist die Bestimmung und Verfolgung von quasiperiodischen Attraktoren bzw. Repelloren von Interesse. Des Weiteren sollen die implementierten Verfahren auch in der Lage sein Synchronisationseffekte zu detektieren.

Aktuell werden Ansätze zur Beschreibung stationärer Lösungen mittels Bewegungsinvarianten verfolgt. Diese lassen sich als Lösung von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen darstellen, welche über Standardmethoden numerisch gelöst werden können (FEM, FD). Die so ermittelten invarianten Mannigfaltigkeiten können dann bspw. als Torus veranschaulicht werden (siehe Bild). Weiterhin zielen aktuelle Untersuchungen auf die Eigenschaften der Bewegungsinvarianten in Bezug auf deren Stabilität ab. Zusätzlich spielen Synchronisationseffekte und die damit einhergehenden Dimensionsänderungen des invarianten Torus in der aktuellen Forschung eine Rolle.

Die Bestimmung der Stabilität erfolgt über eine Berechnung der Lyapunov-Exponenten. Am Fachgebiet  wurde ein Verfahren entwickelt, dass die effiziente Berechnung von Lyapunov-Exponenten für quasi-periodische Lösungen ermöglicht. Hierbei wird eine Abbildungsfunktion identifiziert, die die Entwicklung von Störungen beschreibt.

Die Untersuchung und Validierung der Methode konnte bereits an einfachen Modellen durchgeführt werden, hierzu zählen unter anderem ein akademisches (fremderregte Van-der-Pol Gleichung).