MATLAB Toolbox CoSTAR

Sowohl in den theoretischen als auch in den angewandten Wissenschaften werden stationäre Lösungen dynamischer Systeme untersucht. Häufig möchte man Eigenschaften von stationären Lösungen in Abhängigkeit eines Parameters, des sogenannten Bifurkationsparameters, darstellen. Dies ist zur Untersuchung technischer, biologischer, physikalischer, chemischer und wirtschaftlicher Systeme von Bedeutung. Am Fachgebiet Technische Dynamik liegt hierbei der Fokus auf Gleichgewichtslösungen, sowie periodischen und quasi-periodischen Lösungen.

Zur schnellen Berechnung von Bifurkationsdiagrammen, werden oftmals sogenannte Prädiktor-Korrektor-Verfahren verwendet. Diese Verfahren können Kurven berechnen, die durch ein Nullstellenproblem definiert werden. Etablierte Softwarelösungen zur Kurvenverfolgung nutzen meist einen einzelnen spezifischen Approximationsansatz (z.B. Shooting, harmonische Balance, Kollokation), um stationäre Lösungen zu berechnen. Die am Fachgebiet entwickelte Matlab Toolbox CoSTAR (Continuation of Solution Torus AppRoximations) verfolgt einen modularen Ansatz, bei dem ein Prädiktor-Korrektor-Algorithmus mit verschiedenen Approximationsansätzen kombiniert werden kann. Das forschungsseitige Ziel ist hierbei der direkte Vergleich verschiedener Methoden in einem gemeinsamen Framework. Anwendungsseitig erlaubt die modulare Struktur die Wahl problemspezifischer Approximationsansätze.

Lösungsbestimmung

Es sind verschiedene Ansätze zur Berechnung von Gleichgewichtslösungen, sowie zur Berechnung von periodischen und quasi-periodischen Lösungen implementiert. Für jeden Ansatz zur Lösung wird hierbei ein individuelles Nullstellenproblem zur Verfügung gestellt. Derzeit sind für periodische und quasi-periodische Lösungen Shooting Methoden sowie Fourier-Galerkin-Verfahren implementiert worden.

Prädiktor-Korrektor-Verfahren

Beim Prädiktor-Korrektor-Verfahren zur Kurvenverfolgung wird zunächst ein bekannter Kurvenpunkt vorausgesetzt. Von diesem Punkt aus wird mittels eines Prädiktors (z.B. tangential zur Kurve) ein neuer Punkt in der Nähe der Kurve bestimmt. Mit einem Verfahren zur Lösung eines nichtlinearen Nullstellenproblems wird dann in einem Korrektorschritt der nächste Kurvenpunkt bestimmt.

Der Algorithmus des Prädiktor-Korrektor-Verfahrens wurde so programmiert, dass er unabhängig von der verwendeten Lösungsmethode verwendet werden kann.

Stabilitätsberechnung

Zur Bestimmung der Stabilität von Gleichgewichtslösungen, sowie periodischen und quasi-periodischen Lösungen, werden derzeit verschiedene Methoden implementiert.

Die Stabilitätsuntersuchung von Gleichgewichtslösungen, lässt sich direkt mittels der Eigenwerttheorie durchführen.

Bestimmt man periodische Lösungen mittels Single- oder Multiple-Shooting-Verfahren, erhält man als Nebenprodukt die Monodromiematrix. Somit ist die Stabilitätsbestimmung in diesem Fall direkt möglich. Anders verhält es sich bei periodischen Lösungen, die mittels einem Fourier-Galerkin-Verfahren bestimmt wurden. Derzeit wird am Fachgebiet ein Algorithmus entwickelt, der auf Basis der Hill-Methode die Floquet-Multiplikatoren aus der Lösung bestimmt.

Für die Stabilitätsuntersuchung quasi-periodischer Lösungen, wird derzeit ein Verfahren implementiert, das mithilfe der Methode der Charakteristiken effizient die Lyapunov-Exponenten einer quasi-periodischen Lösung bestimmen kann. Dieser Algorithmus wurde am Fachgebiet entwickelt.

In Zukunft sollen weitere Module implementiert werden, die es erlauben z.B. Bifurkationspunkte zu verfolgen und Stabilitätskarten zu erstellen.

Die Matlab Toolbox CoSTAR wird zur Verwendung in Forschung und Lehre über GitHub zur Verfügung gestellt werden.